TOÁN THPT | Blog An Dương

Hiển thị các bài đăng có nhãn TOÁN THPT. Hiển thị tất cả bài đăng

Home » Bài viết cho " TOÁN THPT "

40 CÂU TRẮC NGHIỆM PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chiếu ngày 8/9, Bộ GD&ĐT đã chính thức công bố Dự thảo phương án thi, xét tốt nghiệp Trung học phổ thông và tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2017. Theo đó môn Toán là môn thi bắt buộc, thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan gồm 50 câu hỏi, thời gian làm bài 90 phút, nội dung chủ yếu trong chương trình lớp 12. Đề thi trắc nghiệm do máy tính thiết lập tự động từ ngân hàng câu hỏi thi chuẩn hóa được cập nhật, bổ sung trên cơ sở ngân hàng đề thi đã được Đại học Quốc gia Hà Nội xây dựng nhiều năm qua. Bộ GD ĐT sẽ công bố đề thi minh họa vào cuối tháng 9 hoặc đầu tháng 10 năm 2016. Học sinh và giáo viên có thể tham khảo định dạng của đề thi này để ôn luyện trong quá trình dạy học.

Tuần này Luyện thi An Dương soạn thử 40 câu trắc nghiệm phần khảo sát hàm số. Chúng tôi sẽ tiếp tục cập nhật trong thời gian tới sau khi có thông tin từ Bộ.

https://www.dropbox.com/s/nlwv1a1a19s003y/Exam_An1.pdf?dl=0

Xem tiếp »

Nhiều học sinh bất ngờ với thông tin sẽ có sách giáo khoa song ngữ Việt - Anh

Thông tin cùng hình ảnh của những cuốn sách giáo khoa bằng song ngữ Việt - Anh được chia sẻ trên mạng xã hội đang khiến không ít học sinh thích thú và tò mò.

Cách đây chưa lâu, những thông tin và hình ảnh về sách giáo khoa song ngữ Việt - Anh trong chương trình THPT được chia sẻ trên mạng xã hội đã thu hút sự chú ý của rất nhiều người, đặc biệt là các bạn học sinh.

Theo như những hình ảnh được đăng tải thì đây là sách giáo khoa song ngữ của 3 môn Vật lý, Đại số và giải tích, Hình học của lớp 11. Quan sát nội dung ở phía trong có thể nhận thấy phần song ngữ Việt - Anh được bố trí khá dễ hiểu và chi tiết. Dưới mỗi đề mục, mỗi đoạn ngắn tiếng Việt đều được dịch sang tiếng Anh, nội dung Việt - Anh xen kẽ nhau.

Được biết, những cuốn sách giáo khoa này thuộc đề án Dạy và học ngoại ngữ trong hệ thống giáo dục quốc dân giai đoạn 2008 - 2020. Trong văn bản hướng dẫn những nhiệm vụ trọng tâm năm 2016 của đề án này có nêu rằng Khuyến khích các cơ sở giáo dục chủ động xây dựng, áp dụng các tài liệu dạy học song ngữ. Cùng với đó, đề án này còn có nhiệm vụ bồi dưỡng GV dạy toán, các môn khoa học tự nhiên bằng tiếng Anh trong trường phổ thông.

Hiện tại việc dạy - học bằng sách song ngữ vẫn đang tiến hành thí điểm và dự kiến sẽ tiến hành vào năm học 2016-2017. Sách giáo khoa song ngữ sẽ do NXB Giáo dục Việt Nam cung cấp.

http://kenh14.vn/nhieu-hoc-sinh-bat-ngo-voi-thong-tin-se-co-sach-giao-khoa-song-ngu-viet-anh-20160717223826924.chn

Xem tiếp »

Bất đẳng thức Minkovskii cho dãy số thực và ứng dụng trong chương trình phổ thông

Cho $a = (a_1, a_2, ..., a_n)$ và $b = (b_1, b_2, ..., b_n) \in \mathbb{R}^n$ và $p > 1$. Khi ấy
$${\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{a_i} + {b_i}} \right)}^p}} } \right]^{\frac{1}{p}}} \le {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^p} } \right)^{\frac{1}{p}}} + {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^p} } \right)^{\frac{1}{p}}}.$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các vectơ $a$ và $b$ tỉ lệ, nghĩa là $a_i=kb_i$ với mọi $i \in \{1, 2, ..., n\}$

Bất đẳng thức Minkovskii có ứng dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải phương trình và hệ phương trình đại số. Sau đây là một ví dụ minh họa cho việc áp dụng bất đẳng thức này vào giải phương trình.

Ví dụ:
Giải phương trình
$$\sqrt{x^2+4y^2+6x+9} +\sqrt{x^2+4y^2-2x-12y+10}=5.$$

Giải: Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng
$$\sqrt{{(x+3)}^2+(2-y)^2} +\sqrt{(1-x)^2+(3-2y)^2}=5. \ \ \ \ (1)$$

Áp dụng bất đẳng thức Minkovskii cho $a=(x+3,2y), \ b=(1-x,3-2y)$ và $p=2$. Khi đó ta có
$$\sqrt{4^2+3^2}=5 \le \sqrt{{(x+3)}^2+(2-y)^2} +\sqrt{(1-x)^2+(3-2y)^2}.$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=kb$ với $k>0$ hoặc $a=0$ hoặc $b=0$. Vậy phương trình (1) tương đương với hai khả năng sau:\\
Trường hợp 1: $1-x=3-2y=0$. Suy ra $x=1$ và $y=\dfrac{3}{2}$.\\
Trường hợp 2: $\dfrac{x+3}{1-x}=\dfrac{2y}{3-2y}\ge 0.$ Điều này tương đương với hệ
$$-3\le x< 1$$
và $$-1 +\dfrac{4}{1-x}=-1+ \dfrac{3}{3-2y}.$$
Từ hệ phương trình cuối ta có
$$-3\le x< 1$$ và
$$3x-8y+9=0.$$

Giải hệ ta được $$-3\le x< 1$$
và $$y=\dfrac{3x+9}{8}.$$

Kết hợp lại ta được nghiệm của phương trình đã cho là $(x, \dfrac{3x+9}{8})$ trong đó $-3\le x<1.$

Xem tiếp »

Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz cho các số thực và ứng dụng trong chương trình phổ thông

Cho $a = \left( {{a_1},a_2...,{a_n}} \right)$ và $b = \left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right)$ là hai bộ số thực. Khi ấy ta có
$$ (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2 \ \ \ (1.1)$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a$ và $b$ tỉ lệ, nghĩa là tồn tại hằng số $r$ sao cho ${a_i} = r{b_i}$ với mọi $i \in \{ 1,2,...,n\} .$

Trong chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz thường được phát biểu khi $n=2$ và mở rộng cho $n=3$. Bất đẳng thức này được ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số...

Ví dụ 1.1
Hai số dương $x,y$ thỏa mãn $3x+2y=6xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $x+y$.

Giải: Nhận xét rằng $3x+2y=6xy$ khi và chỉ khi $ \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=6$ và $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{\dfrac{2}{x}}.\sqrt{x}+\sqrt{\dfrac{3}{y}}.\sqrt{y}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz với $n=2$, ta được
$$(\sqrt{2}+\sqrt{3} )^2 \le \left( \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}\right)(x+y)=6(x+y).$$
Suy ra $$x+y \ge \dfrac{1}{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3} )^2 =\dfrac{5+2\sqrt{6}}{6}.$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng $x+y$ bằng $\dfrac{5+2\sqrt{6}}{6}$ đạt được khi
$$ \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=6$$ và
$$\dfrac{x}{\dfrac{2}{x}}=\dfrac{y}{\dfrac{3}{y}}$$. Điều này tương đương với

$$ x=\dfrac{2+\sqrt{6}}{6}$$
và $$ x=\dfrac{3+\sqrt{6}}{6}.$$

Ví dụ 1.2:
Giải bất phương trình $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x^2-10x+16} \ge 3-x.$

Giải: Ta biến đổi phương trình về dạng $\sqrt{x-1}+x-3 \ge\sqrt{2x^2-10x+16}.$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz với $n=2$, ta được
$$ \sqrt{2[(x-1)+(x-3)^2]} \le \sqrt{x-1}+x-3.$$
Vậy bất phương trình tương đương với dấu "=" xảy ra, tức là
$$\sqrt{x-1}=x-3\Leftrightarrow x^2-7x+10=0.$$
Giải phương trình cuối ta được $x=2$ và $x=5$. Vậy bất phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=5$.

Ví dụ 1.3:

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\sqrt{3(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} )} \ge \sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a}+ \sqrt{c+a-b}.$$

Giải: Lấy $x,y,z>0$ và đặt $a=x+y, b=y+z, c=x+z$. Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức
$$3 \sum\limits_{cyc} \sqrt{(x+y)(y+z)} \ge 2 \left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{x} \right)^2. $$
Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz ta có
$$
3 \sum\limits_{cyc} \sqrt{(x+y)(y+z)} \ge 3 \sum\limits_{cyc} (y +\sqrt{xz}) \\
\ge 2 \sum\limits_{cyc} y + \sum\limits_{cyc} \sqrt{xz} \\
= 2 \left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{x} \right)^2.
$$

Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz được sử dụng rất nhiều trong việc chứng minh các bất đẳng thức. Đặc biệt trong các bài thi chọn học sinh giỏi, thi Olympic.

Ví dụ 1.4:
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn
$$\dfrac{1}{a+b+1} +\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1} \ge 1.$$
Chứng minh rằng
$$a+b+c \ge ab+bc+ca.$$
(Andrei Ciupan, Chọn đội tuyển Romania dự thi Junior BMO 2007)

Giải:\\
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz, dễ thấy
$$(a+b+1)(a+b+c^2)\ge (a+b+c)^2.$$
Từ đó dẫn đến
$$
1 \le \dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}
\le \dfrac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}+\dfrac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}\dfrac{c+a+b^2}{(a+b+c)^2}.
$$
Suy ra
$$(a+b+c)^2 \le 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2,$$
tức là
$$a+b+c \ge ab+bc+ca.$$
Bất đẳng thức của ta được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$

Cách 2: Từ giả thiết sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz, ta có
$$
2 \ge \left( 1- \dfrac{1}{a+b+1} \right) + \left( 1- \dfrac{1}{b+c+1} \right)+ \left( 1- \dfrac{1}{c+a+1} \right)\\
=\dfrac{a+b}{a+b+1}+\dfrac{b+c}{b+c+1}+\dfrac{c+a}{c+a+1}\\
\ge \dfrac{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}{(a+b)(a+b+1)+(b+c)(b+c+1)+(c+a)(c+a+1)}\\
=\dfrac{2(a^2+b^2+c^2) +4 (ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2) +(ab+bc+ca)+(a+b+c)}.
$$
Từ đây ta suy ra được
$$(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+(a+b+c) \ge (a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca),$$
tức là
$$a+b+c \ge ab+bc+ca.$$
Đây chính là điều phải chứng minh.

Xem tiếp »

Ứng dụng của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân trong chương trình toán phổ thông

Bài này là bài kế tiếp của bài:"Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân"

Bất đẳng thức
$$\dfrac{a+b}{2} \, \geq \, \sqrt{ab}.$$
trong chương trình học phổ thông được biết đến với tên gọi bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Bất đẳng thức này có nhiều ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán giải phương trình, bất phương trình.

Sau đây chúng tôi nêu ra một vài ý nghĩa của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân như sau:

Giả sử ta có một tập các hình chữ nhật có diện tích $A$ và độ dài cạnh là $x, y.$ Vì $A=xy$, nên
bất đẳng thức $\dfrac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$ có ý nghĩa là hình vuông có độ dài cạnh $\sqrt{xy}$ phải có chu vi nhỏ nhất trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích $A$. Nói cách khác, trong số tất cả các hình chữ nhật có chu vi $p$ thì hình vuông có cạnh $p/4$ là hình vuông có diện tích lớn nhất.

Một ý nghĩa hình học nữa liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân là coi $\dfrac{1}{2}(x+y)$
là bán kính của một đường tròn và $\sqrt{xy}$ là đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông chắn nửa
đường tròn.

Ví dụ :
Từ một mảnh giấy bìa có dạng hình chữ nhật kích thước $15 \times 8 \ cm$, người ta cắt ra từ bốn góc của hình chữ nhật bốn hình vuông bằng nhau. Mảnh giấy còn lại trông giống như một chữ thập, được gấp làm một cái hộp (không nắp). Hỏi rằng cạnh của bốn hình vuông bằng bao nhiêu để thể tích của chiếc hộp thu được là lớn nhất.

Giải: Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông. Khi đó chiếc hộp sẽ có kích thước là $15-x-x; 8-x-x$ và $x$. Thể tích của chiếc hộp là $V$ được tính theo $x$ như sau
$$V = x(15-2x)(8-2x).$$
Ta cần tìm $x$ sao cho $V$ đạt giá trị lớn nhất. Khi chưa có công cụ đạo hàm, ta vẫn có thể tìm
giá trị lớn nhất của $V$ bằng cách sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân.

Thực vậy, ta cần phải tìm $k,l$ trong $kx(15-2x)l(8-2x)$ sao cho
$$15-2x=l(8-2x)=kx,$$ và $$2+2l-k=0.$$
Từ đây, biểu diễn $x$ theo $k,l$ ta tìm $k,l$ bằng cách giải hệ phương trình
$$\dfrac{15-8l}{2(1-l)}=\dfrac{8l}{k+2l}$$
hay $2+2l-k=0.$

Giải hệ này cho ta $l=\dfrac{5}{2}, k = 7$. Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân cho ba số,
$$
V=x(15-2x)(8-2x)=\dfrac{2}{35}.7x (15-2x)(20-5x)
\le \dfrac{2}{35} \left( \dfrac{7x+15-2x+20-5x}{3}\right)^3.
$$
Từ đó,
$$V \le \dfrac{2}{35}. \left(\dfrac{35}{3}\right)^3=\dfrac{2450}{27}.$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$7x=15-2x=20-5x.$$
Giải hệ phương trình này cho ta $x=\dfrac{5}{3}$. Vậy cạnh hình vuông là $\dfrac{5}{3}$ cm.

Xem tiếp »

DỰ ĐOÁN CẤU TRÚC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016

Kỳ thi THPT Quốc gia đang đến rất gần, vào thời điểm này học sinh đã hoàn thành việc ôn luyện kiến thức môn Toán. Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại việc ôn tập là chưa đủ, học sinh cần thực hành làm đề, giải đề để rèn luyện kỹ năng làm bài thật tốt.

Xem tiếp »

Chuyên đề: Công thức lượng giác-Phương trình lượng giác

Các em HS lớp 11, 12 Ôn thi THPT Quốc gia 2016 thân mến!
Đây là tập bài giảng đầy đủ về lượng giác, bám sát đề thi THPT QG2016. Các em có thể in hoặc tải về máy xem. Đây là bộ tài liệu thầy tổng hợp lại bao gồm: Công thức lượng giác, Các phương pháp giải PTLG, ví dụ mẫu (có lời giải chi tiết), và bài tập tự giải, các bài tập lượng giác trong các đề thi ĐH từ 2002-2015....
https://www.dropbox.com/s/ue15gbbpih3xe1n/3_CD3_Phuong%20trinh%20luong%20giac.pdf?dl=0

Xem tiếp »

ĐỀ THI THPT QG 2016 - LẦN 3

Xem tiếp »

TOÀN BỘ CÔNG THỨC TOÁN THPT3-ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN-NHỊ THỨC NEWTON

Phần III. ĐẠO HÀM – TÍCH PHÂN – HÌNH HỌC – NHỊ THỨC NEWTON

1. Đạo hàm
2. Bảng các nguyên hàm
3. Diện tích hình phẳng – Thể tích vật thể tròn xoay
4. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
5. Phương pháp tọa độ trong không gian
6. Nhị thức Newton

Chúc các em học tập tốt!

Xem tiếp »

TOÀN BỘ CÔNG THỨC TOÁN THPT2-LƯỢNG GIÁC

Phần II. LƯỢNG GIÁC
Bao gồm 3 chuyên đề lớn
1. Công thức lượng giác
2. Phương trình lượng giác

3. Hệ thức lượng trong tam giác

Xem tiếp »

TOÀN BỘ CÔNG THỨC THOÁN THPT1

PHẦN I: ĐẠI SỐ

1. Tam thức bậc 2
2. Bất đẳng thức Cauchy
3. Cấp số cộng
4. Cấp số nhân
5. Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
6. Phương trình, bất phương trình chứa căn
7. Phương trình, bất phương trình logarit
8. Phương trình, bất phương trình mũ
9. Lũy thừa

10. Logarit