Bất đẳng thức
$$\dfrac{a+b}{2} \, \geq \, \sqrt{ab}.$$
trong chương trình học phổ thông được biết đến với tên gọi bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Bất đẳng thức này có nhiều ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán giải phương trình, bất phương trình.
Sau đây chúng tôi nêu ra một vài ý nghĩa của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân như sau:
Giả sử ta có một tập các hình chữ nhật có diện tích $A$ và độ dài cạnh là $x, y.$ Vì $A=xy$, nên
bất đẳng thức $\dfrac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$ có ý nghĩa là hình vuông có độ dài cạnh $\sqrt{xy}$ phải có chu vi nhỏ nhất trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích $A$. Nói cách khác, trong số tất cả các hình chữ nhật có chu vi $p$ thì hình vuông có cạnh $p/4$ là hình vuông có diện tích lớn nhất.
Một ý nghĩa hình học nữa liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân là coi $\dfrac{1}{2}(x+y)$
là bán kính của một đường tròn và $\sqrt{xy}$ là đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông chắn nửa
đường tròn.
Ví dụ :
Từ một mảnh giấy bìa có dạng hình chữ nhật kích thước $15 \times 8 \ cm$, người ta cắt ra từ bốn góc của hình chữ nhật bốn hình vuông bằng nhau. Mảnh giấy còn lại trông giống như một chữ thập, được gấp làm một cái hộp (không nắp). Hỏi rằng cạnh của bốn hình vuông bằng bao nhiêu để thể tích của chiếc hộp thu được là lớn nhất.
Giải: Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông. Khi đó chiếc hộp sẽ có kích thước là $15-x-x; 8-x-x$ và $x$. Thể tích của chiếc hộp là $V$ được tính theo $x$ như sau
$$V = x(15-2x)(8-2x).$$
Ta cần tìm $x$ sao cho $V$ đạt giá trị lớn nhất. Khi chưa có công cụ đạo hàm, ta vẫn có thể tìm
giá trị lớn nhất của $V$ bằng cách sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân.
Thực vậy, ta cần phải tìm $k,l$ trong $kx(15-2x)l(8-2x)$ sao cho
$$15-2x=l(8-2x)=kx,$$ và $$2+2l-k=0.$$
Từ đây, biểu diễn $x$ theo $k,l$ ta tìm $k,l$ bằng cách giải hệ phương trình
$$\dfrac{15-8l}{2(1-l)}=\dfrac{8l}{k+2l}$$
hay $2+2l-k=0.$
Giải hệ này cho ta $l=\dfrac{5}{2}, k = 7$. Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân cho ba số,
$$
V=x(15-2x)(8-2x)=\dfrac{2}{35}.7x (15-2x)(20-5x)
\le \dfrac{2}{35} \left( \dfrac{7x+15-2x+20-5x}{3}\right)^3.
$$
Từ đó,
$$V \le \dfrac{2}{35}. \left(\dfrac{35}{3}\right)^3=\dfrac{2450}{27}.$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$7x=15-2x=20-5x.$$
Giải hệ phương trình này cho ta $x=\dfrac{5}{3}$. Vậy cạnh hình vuông là $\dfrac{5}{3}$ cm.
Luyện thi An Dương
Có 0 nhận xét Đăng nhận xét