Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Với mọi số dương

$a$ và

$b$ , ta luôn có

$\dfrac{a+b}{2} \, \geq \, \sqrt{ab} \, \geq \, \dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}. \ \ \ (1.1)$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$a =b$ .
Chứng minh:
Cách 1: Vì

$a, b > 0$ nên ta có thể viết

$a = x^2, b = y^2$ với

$x, y > 0$ . Ta có

$\dfrac{x^2 + y^2}{2} \geq xy.$
Điều này tương đương với

$(x-y)^2 \geq 0. \ \ \ (1.2)$
Rõ ràng, bất đẳng thức

$1.2$ luôn đúng với mọi

$x, y$ . Tức là, bất đẳng thức thứ nhất trong

$1.1$ được chứng minh. Chia bất đẳng thức này cho

$ab$ ta nhận được

$\dfrac{\dfrac{a+b}{ab}}{2} \geq {\dfrac{\sqrt{ab}}{ab}} = \dfrac{1}{\sqrt{ab}}.$
Dễ dàng thấy rằng bất đẳng thức sau cùng này tương đương với bất đẳng thức thứ hai trong

$1.1$
và dấu bằng trong

$1.2$ xảy ra khi và chỉ khi

$x = y$ .
Điều này có nghĩa là

$a = b$ trong

$1.1$ .

Cách 2: Bất đẳng thức

$1.1$ có thể được chứng minh bằng hình học như sau. Trước hết ta có

$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} = \dfrac{2ab}{a+b}.$
Ta viết lại bất đẳng thức

$1.1$ dưới dạng

$\dfrac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2}.$

Không hạn chế tổng quát, coi

$a>b$ . Dựng đường tròn tâm

$A$ bán kính

$\dfrac{a-b}{2}$

$như hình vẽ$ . Trên đường thẳng

$Ax$ bất kì lấy điểm

$M$ sao cho độ dài

$AM = \dfrac{a+b}{2}$ . Từ

$M$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn, gọi tiếp điểm là

$G$ . Từ

$G$ kẻ

$GH\bot Ax$ . Sử dụng công thức Pythagoras cho tam giác vuông

$AGM$ ta tính được độ dài các cạnh

$AM = \dfrac{a+b}{2}, \ GM =\sqrt{AM^2-AG^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2- \left(\dfrac{a-b}{2} \right)^2}= \sqrt{ab},$

$HM=\dfrac{GM^2}{AM}=\dfrac{ab}{\dfrac{a+b}{2}} = \dfrac{2ab}{a+b}.$
Mặt khác, dựa vào tính chất của tam giác, ta có

$HM \leq GM \leq AM.$
Suy ra

$\dfrac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2}.$
Nếu ta cho phép bán kính của đường tròn dần về 0, thì

$G$ dần tới

$A$ , ta thu được dấu bằng trong bất đẳng thức trên.

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương