$$ \dfrac{a+b}{2} \, \geq \, \sqrt{ab} \, \geq \, \dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}. \ \ \ (1.1)$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a =b$.
Chứng minh:
Cách 1: Vì $a, b > 0$ nên ta có thể viết $a = x^2, b = y^2$ với $x, y > 0$. Ta có
$$
\dfrac{x^2 + y^2}{2} \geq xy.
$$
Điều này tương đương với
$$
(x-y)^2 \geq 0. \ \ \ (1.2)
$$
Rõ ràng, bất đẳng thức (1.2) luôn đúng với mọi $x, y$. Tức là, bất đẳng thức thứ nhất trong (1.1) được chứng minh. Chia bất đẳng thức này cho $ab$ ta nhận được
$$
\dfrac{\dfrac{a+b}{ab}}{2} \geq {\dfrac{\sqrt{ab}}{ab}} = \dfrac{1}{\sqrt{ab}}.
$$
Dễ dàng thấy rằng bất đẳng thức sau cùng này tương đương với bất đẳng thức thứ hai trong (1.1)
và dấu bằng trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi $x = y$.
Điều này có nghĩa là $a = b$ trong (1.1).
Cách 2: Bất đẳng thức (1.1) có thể được chứng minh bằng hình học như sau. Trước hết ta có
$$ \dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} = \dfrac{2ab}{a+b}. $$
Ta viết lại bất đẳng thức (1.1) dưới dạng
$$ \dfrac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2}. $$
Không hạn chế tổng quát, coi $a>b$. Dựng đường tròn tâm $A$ bán kính $\dfrac{a-b}{2}$ (như hình vẽ). Trên đường thẳng $Ax$ bất kì lấy điểm $M$ sao cho độ dài $AM = \dfrac{a+b}{2}$. Từ $M$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn, gọi tiếp điểm là $G$. Từ $G$ kẻ $GH\bot Ax$. Sử dụng công thức Pythagoras cho tam giác vuông $AGM$ ta tính được độ dài các cạnh
$$ AM = \dfrac{a+b}{2}, \ GM =\sqrt{AM^2-AG^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2- \left(\dfrac{a-b}{2} \right)^2}= \sqrt{ab},
$$
$$ HM=\dfrac{GM^2}{AM}=\dfrac{ab}{\dfrac{a+b}{2}} = \dfrac{2ab}{a+b}. $$
Mặt khác, dựa vào tính chất của tam giác, ta có
$$ HM \leq GM \leq AM. $$
Suy ra
$$ \dfrac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2}. $$
Nếu ta cho phép bán kính của đường tròn dần về 0, thì $G$ dần tới $A$, ta thu được dấu bằng trong bất đẳng thức trên.
Luyện thi An Dương
Có 0 nhận xét Đăng nhận xét