Xét từ nghĩa Hán Việt của Đạo hàm:
Đạo nghĩa là đường đi, hướng đi
Hàm nghĩa là hàm số
Đạo hàm, hiểu nôm na là hướng đi của hàm số.
Xét từ định nghĩa toán học của đạo hàm:
Tại một điểm $x$, hàm số có giá trị là $f(x)$. Xét một điểm gần đó $x+a$, hàm có giá trị $f(x+a)$. Ta thấy $x$ thay đổi một lượng là $a$, hàm thay đổi giá trị $d=f(x+a)-f(x)$. Giới hạn của thương số $d/a$ khi $a$ tiến đến 0 chính là đạo hàm. Ta thấy thế này, nếu đạo hàm, tức thương số $d/a$ càng lớn thì chứng tỏ với một thay đổi nhỏ của $x$ thì $f(x)$ càng thay đổi nhiều, nghĩa là đạo hàm mang ý nghĩa về tốc độ biến đổi của hàm.
Khái niệm dể hiểu nhất cho đạo hàm
Bản chất của đạo hàm $f'(x)$ là tốc độ gia tăng của hàm $f(x)$ theo sự tăng dần của biến số x ở ngay gần sát tại điểm $x$ đang xét:
Nếu giá trị của đạo hàm tại $x$ là $> 0$, chứng tỏ rằng tại đó hàm số tăng theo $x$
Nếu giá trị của đạo hàm tại $x$ là $< 0$, chứng tỏ rằng tại đó hàm số giảm theo $x$
Nếu giá trị của đạo hàm tại $x$ là $= 0$, chứng tỏ rằng tại đó hàm số không tăng cũng không giảm
Ví dụ: hàm số $f(x) = 3x$ có đạo hàm là $f'(x) = 3$ tại mọi $x$, nghĩa là tốc độ tăng của $f(x)$ là 3 lần tốc độ tăng của $x$ tại mọi điểm, cứ $x$ tăng từ 3 lên 5 (tăng 2 điểm), thì $f(x)$ tăng từ 9 lên 15 (tăng 6 điểm).
Khi đạo hàm bằng 0 thì hàm số tại đó không tăng cũng không giảm khi x tăng. Khi đó chúng ta chưa thể nói chắc là cực đại, mà điểm đó có thể là cực tiểu, hoặc chỉ là điểm uốn. Cần phải biết dấu của đạo hàm cấp hai mới xác định được đó là cực đại, cực tiểu hay điểm uốn.
Nếu $f’ = 0 $ và $f” > 0$ tại $x$: tại điểm $x$, hàm số không tăng hay giảm theo $x$ nữa, nhưng đang thay đổi xu hướng từ trạng thái giảm dần thành trạng thái tăng dần, $x$ là điểm cực tiểu.
Nếu $f' = 0$ và $f'' < 0$ tại $x$: tại điểm $x$, hàm số không tăng hay giảm theo $x$ nữa, nhưng đang thay đổi xu hướng từ trạng thái tăng dần thành trạng thái giảm dần, $x$ là điểm cực đại.
Nếu $f' = 0$ và $f'' = 0$ tại $x$: tại điểm $x$, hàm số không tăng hay giảm theo $x$ nữa, mà cũng không thay đổi xu hướng, hàm số chỉ dừng lại không tăng/giảm tại $x$ một tí rồi nó lại tiếp tục xu hướng trước đây của nó.
Ý nghĩa hình học của khái niệm đạo hàm là ở chỗ nó biểu diễn tốc độ biến thiên của hàm số thông qua hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động với vận tốc không cố định.
Trong lĩnh vực kinh tế, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư chứng khoán đúng đắn. Nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược và muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền. Đạo hàm sẽ là thứ chúng ta cần, rất đơn giản đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang được quan tâm và sau đó chỉ cần tính đạo hàm của nó. Còn tính đạo hàm như thế nào thì sách giáo khoa đã chỉ dẫn rõ ràng và chi tiết.
