GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP

1. Định nghĩa về nghiệm của phương trình:

Cho hàm số $\88dpi y=f(x)$ xác định trên $\88dpi D$ . Giá trị $\88dpi {{x}_{0}}\in D$ thỏa $\88dpi f({{x}_{0}})=0$ được gọi là nghiệm của phương trình $\88dpi f(x)=0$ trên $\88dpi D$ .

2. Định lí Bơzu: Nếu đa thức hệ số thực $\88dpi f(x)$ có nghiệm $\88dpi x=a$ thì ta có phân tích $\88dpi f(x)=(x-a)g(x)$ với $\88dpi g(x)$ là một đa thức hệ số thực.

3. Cơ sở phương pháp liên hợp

$\88dpi \bullet$ Giả sử ta cần giải phương trình $\88dpi f(x)=0$ và đã biết trước được một nghiệm $\88dpi x={{x}_{0}}$ .

Khi đó ta tìm cách phân tích đưa phương trình $\88dpi f(x)=0$ về dạng $\88dpi (x-{{x}_{0}})g(x)=0$

$\88dpi \bullet$ Để phân tích được về thừa số $\88dpi x-{{x}_{0}}$ ta chuyển các biểu thức vô tỉ về các đa thức. Chẳng hạn trong phương trình có hạng tử $\88dpi \sqrt[n]{P(x)}$ thì ta ghép với $\88dpi \sqrt[n]{P({{x}_{0}})}$ ta được $\88dpi \sqrt[n]{P(x)}-\sqrt[n]{P({{x}_{0}})}=\frac{P(x)-P({{x}_{0}})}{{{\left( \sqrt[n]{P(x)} \right)}^{n-1}}+...+{{\left( \sqrt[n]{P({{x}_{0}})} \right)}^{n-1}}}$ .

$\88dpi \bullet$ Để thuận lợi trong việc phân tích ta cần nắm vững các hằng đẳng thức

$\88dpi {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)$

$\88dpi {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=(a-b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})$

……………………………….

$\88dpi {{a}^{n}}-{{b}^{n}}=(a-b)({{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+...+a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}})$ .

Ví dụ 1. Giải phương trình

$\88dpi \sqrt{x+1}+2\sqrt[3]{3x-1}=6$ .

Lời giải.

Điều kiện: $\88dpi x\ge -1$ .

Nhận thấy phương trình đã cho có nghiệm $\88dpi x=3$ nên ta biến đổi phương trình đã cho như sau

$\88dpi \sqrt{x+1}-2+2\left( \sqrt[3]{3x-1}-2 \right)=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{6(x-3)}{\sqrt[3]{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{3x-1}+4}=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( \frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{6}{\sqrt[3]{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{3x-1}+4} \right)=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=3 \\ & \frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{6}{\sqrt[3]{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{3x-1}+4}=0\text{ (*)} \\ \end{matrix} \right.$

Vì

$\88dpi \sqrt{x+1}+2>0,$

$\88dpi \text{ }\sqrt[3]{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{3x-1}+4={{\left( \sqrt[3]{3x-1}+1 \right)}^{2}}+3>0$ nên (*) vô nghiệm.

Vậy $\88dpi T=\left\{ 3 \right\}$ .

Nhận xét: Trong lời giải trên có hai mẫu chốt quan trọng là:

$\88dpi \bullet$ Nhẩm trước 1 nghiệm của phương trình. Khi nhẩm nghiệm ta thường ưu tiến các giá trị của $\88dpi x$ để các biểu thức dưới dấu căn nhân giá trị là một luỹ thừa tương ứng với bậc của căn.

$\88dpi \bullet$ Dùng lượng liên hợp để tạo ra nhân tử $\88dpi x-3$ . Ở đây ta thường thêm bớt các hạng tử phù hợp để tạo ra thừa số chung. Trong bài trên với $\88dpi x=3$ thì $\88dpi \sqrt{x+1}=2$ nên ta ghép $\88dpi \sqrt{x+1}-2$ và $\88dpi \sqrt[3]{3x-1}-2$ .

Ví dụ 2. Giải phương trình

$\88dpi \sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+\sqrt{2x}-\sqrt{2x-3}=3$ .

Lời giải.

Điều kiện: $\88dpi x\ge \frac{3}{2}$ .

Phương trình tương đương với

$\88dpi \sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}-2\sqrt{2x-3}+\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}-2+2\left( \sqrt{2x}-2 \right)=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}-9x+10}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2\sqrt{2x-3}}+\frac{2{{x}^{2}}-x-6}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2}+\frac{2(2x-4)}{\sqrt{2x}+2}=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \frac{(x-2)(2x-5)}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2\sqrt{2x-3}}+\frac{(x-2)(2x+3)}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2}+\frac{4(x-2)}{\sqrt{2x}+2}=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=2 \\ & \frac{2x-5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2\sqrt{2x-3}}+\frac{2x+3}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x}+2}=0\text{ (*)} \\ \end{matrix} \right.$ .

+) Nếu $\88dpi x\ge \frac{5}{2}$ thì ta thấy (*) vô nghiệm

+) Xét $\88dpi \frac{3}{2}\le x\le \frac{5}{2}$ , khi đó

$\88dpi \frac{2x-5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2\sqrt{2x-3}}\ge -2,$

$\88dpi \text{ }\frac{2x+3}{\sqrt{2{{x}^{2}}-x-2}+2}\ge 4(\sqrt{2}-1),\text{ }\frac{4}{\sqrt{2x}+2}\ge \frac{4}{\sqrt{5}+2}$

Do đó

$\88dpi VT(*)\ge -2+4\left( \sqrt{2}-1 \right)+\frac{4}{\sqrt{5}+2}>0$ nên (*) vô nghiệm.

Vậy $\88dpi T=\left\{ 2 \right\}$ .

Ví dụ 3. Giải bất phương trình

$\88dpi {{x}^{3}}-3\sqrt[3]{3x+2}\ge 2$ .

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với

$\88dpi {{x}^{3}}-8-3\left( \sqrt[3]{3x+2}-2 \right)\ge 0$

$\88dpi \Leftrightarrow (x-2)({{x}^{2}}+2x+4)-\frac{9(x-2)}{\sqrt[3]{{{(3x+2)}^{2}}}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}\ge 0$

$\88dpi \Leftrightarrow (x-2).A\ge 0\text{ (*)}$

Với $\88dpi A=\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)\left( \sqrt[3]{{{(3x+2)}^{2}}}+2\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)$

$\88dpi =\left[ {{(x+1)}^{2}}+3 \right]\left[ {{\left( \sqrt[3]{3x+2}+1 \right)}^{2}}+3 \right]\ge 9$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\88dpi x=-1$ .

Nên $\88dpi (*)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=-1 \\ & x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $\88dpi T=\left\{ -1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ .

Ví dụ 4. Giải phương trình :

$\88dpi \sqrt{3{{x}^{2}}-3x+1}+1=\sqrt[3]{6{{x}^{3}}+2}$ .

Lời giải.

Nhận thấy phương trình có nghiệm $\88dpi x=1$ nên ta biến đổi như sau

$\88dpi \sqrt{3{{x}^{2}}-3x+1}-1=\sqrt[3]{6{{x}^{3}}+2}-2$

$\88dpi \Leftrightarrow \frac{3x(x-1)}{\sqrt{3{{x}^{2}}-3x+1}+1}=\frac{6(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}{\sqrt[3]{{{(6{{x}^{3}}+2)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{6{{x}^{3}}+2}+4}$

$\88dpi \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=1 \\ & \frac{x}{\sqrt{3{{x}^{2}}-3x+1}+1}=\frac{2({{x}^{2}}+x+1)}{\sqrt[3]{{{(6{{x}^{3}}+2)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{6{{x}^{3}}+2}+4}\text{ (*)} \\ \end{matrix} \right.$

Từ (*) và phương trình đề bài ta suy ra

$\88dpi \frac{x}{\sqrt[3]{6{{x}^{3}}+2}}=\frac{2({{x}^{2}}+x+1)}{\sqrt[3]{{{(6{{x}^{3}}+2)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{6{{x}^{3}}+2}+4}$

Đặt $\88dpi a=\sqrt[3]{6{{x}^{3}}+2}$ , ta có:

$\88dpi \frac{{{a}^{2}}+2a+4}{a}=\frac{2({{x}^{2}}-x+1)}{x}\Leftrightarrow a+\frac{4}{a}=2\left( x+\frac{1}{x} \right)$

$\88dpi \Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=\frac{a}{2} \\ & x=\frac{2}{a} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=1 \\ & x=-\sqrt[3]{\frac{4}{3}} \\ \end{matrix} \right.$ .

Thử lại ta thấy $\88dpi x=-\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$ không thoả phương trình.

Vậy $\88dpi T=\left\{ 1 \right\}$ .

Ví dụ 5. Giải phương trình:

$\88dpi x+1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}\ge 3\sqrt{x}$ .

Lời giải.

Điều kiện: $\88dpi \left[ \begin{matrix} & x\ge 2+\sqrt{3} \\ & 0\le x\le 2-\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$ .

Ta thấy phương trình $\88dpi x+1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}=3\sqrt{x}$ có hai nghiệm $\88dpi x=4,x=\frac{1}{4}$ . Mà hai nghiệm này là nghiệm của tam thức $\88dpi {{x}^{2}}-\frac{17}{4}x+1$ nên ta tìm cách tạo ra thừa số $\88dpi {{x}^{2}}-\frac{17}{4}x+1$ . Ta biến đổi phương trình đã cho như sau:

$\88dpi x+1-\frac{5}{2}\sqrt{x}+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}-\frac{1}{2}\sqrt{x}\ge 0$

$\88dpi \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-\frac{17}{4}x+1}{x+1+\frac{5}{2}\sqrt{x}}+\frac{{{x}^{2}}-\frac{17}{4}x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}+\frac{1}{2}\sqrt{x}}\ge 0$

$\88dpi \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-\frac{17}{4}x+1 \right)\left( \frac{1}{x+1+\frac{5}{2}\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}+\frac{1}{2}\sqrt{x}} \right)\ge 0$

$\88dpi \Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{17}{4}x+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x\le \frac{1}{4} \\ & x\ge 4 \\ \end{matrix} \right.$ .

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là:

$\88dpi T=\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\cup \left[ 4;+\infty \right)$ .

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương