LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẶNG

Để lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ , ta có các cách sau:

Cách 1: Tìm một điểm $\88dpi M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ mà mặt phẳn g $\88dpi (\alpha )$ đi qua và một VTPT $\88dpi \overrightarrow{n}=(a;b;c)$ . Khi đó phương trình của $\88dpi (\alpha )$ có dạng:

$\88dpi a(x-{{x}_{0}})+b(y-{{y}_{0}})+c(z-{{z}_{0}})=0$ .

Một số lưu ý khi tìm VTPT của mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ :

$\88dpi \bullet$ Nếu hai véc tơ $\88dpi \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên $\88dpi (\alpha )$ thì $\88dpi \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\88dpi (\alpha )$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng $\88dpi A,B,C$ thì $\88dpi \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\88dpi (\alpha )$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi (\alpha )//(\beta )$ thì $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi \Delta \bot (\alpha )$ thì $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi (\alpha )//(\beta )$ thì $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\beta }}}//(\alpha )$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $\88dpi abc\ne 0$ thì phương trình $\88dpi (ABC):$

$\88dpi \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

Cách 2: Giả sử phương trình $\88dpi (\alpha )$ có dạng: $\88dpi ax+by+cz+d=0$ với $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ .

Dựa vào giả thiết của đề bài ta tìm được ba trong bốn ẩn $\88dpi a,b,c,d$ theo ẩn còn lại. Chẳng hạn $\88dpi a=mb,c=nb,d=pb$ . Khi đó phương trình $\88dpi (\alpha )$ là: $\88dpi mx+y+nz+p=0$ .

Chú ý: Nếu mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ thì phương trình của $\88dpi (\alpha )$ có dạng:

$\88dpi a(x-{{x}_{0}})+b(y-{{y}_{0}})+c(z-{{z}_{0}})=0$ .

Ví dụ 1. Lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ , biết:

1) $\88dpi (\alpha )$ đi qua ba điểm $\88dpi A(1;1;1),B(2;-1;3),C(-1;2;-1)$ ,

2) $\88dpi (\alpha )$ đi qua hai điểm $\88dpi A,B$ và song song với $\88dpi OC$ ,

3) $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi M(1;1;1)$ , vuông góc với $\88dpi (\beta ):2x-y+z-1=0$ và song song với $\88dpi \Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-3}$ ,

4) $\88dpi (\alpha )$ vuông góc với hai mặt phẳng $\88dpi (P):x+y+z-1=0$ , $\88dpi (Q):2x-y+3z-4=0$ và khoảng cách từ $\88dpi O$ đến $\88dpi (\alpha )$ bằng $\88dpi \sqrt{26}$ .

Lời giải.

1) Ta có $\88dpi \overrightarrow{AB}=(1;-2;2),\text{ }\overrightarrow{AC}=(-2;1;-2)$ , suy ra $\88dpi \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(2;-2;-3)$

Phương trình $\88dpi (\alpha ):2x-2y-3z+3=0$ .

2) Ta có $\88dpi \overrightarrow{OC}=(-1;2;-1)$ , suy ra $\88dpi \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{OC}=(-2;-1;0)$

Vì $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi A,B$ và song song với $\88dpi CD$ nên $\88dpi (\alpha )$ nhận $\88dpi \overrightarrow{n}=-\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{OC}=(2;1;0)$ làm VTPT.

Suy ra phương trình $\88dpi (\alpha ):2x+y-3=0$ .

3) Ta có: $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=(2;-1;1),\text{ }\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;1;-3)$

Do $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & (\alpha )\bot (\beta ) \\ & (\alpha )//\Delta \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}\wedge \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;8;4)$ .

Phương trình $\88dpi (\alpha ):x+4y+2z-7=0$ .

4) Ta có $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{1}}}=(1;1;1),\text{ }\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(2;-1;3)$ lần lượt là VTPT của $\88dpi (P)$ và $\88dpi (Q)$ .

Vì $\88dpi (\alpha )$ vuông góc với hai mặt phẳng $\88dpi (P)$ và $\88dpi (Q)$ nên $\88dpi (\alpha )$ nhận véc tơ

$\88dpi \overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}\wedge \overrightarrow{{{n}_{2}}}=(4;-1;-3)$ làm VTPT.

Suy ra phương trình $\88dpi (\alpha )$ có dạng $\88dpi :4x-y-3z+d=0$ .

Mặt khác : $\88dpi d(O,(\alpha ))=\sqrt{26}$ nên ta có: $\88dpi \frac{\left| d \right|}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}\Rightarrow d=\pm 26$ .

Vậy phương trình $\88dpi (\alpha ):4x-y-3z\pm 26=0$ .

Ví dụ 2. Lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (P)$ , biết :

1) $\88dpi (P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\88dpi (\alpha ):x-3z-2=0$ ; $\88dpi (\beta ):y-2z+1=0$ và khoảng cách từ $\88dpi M(0;0;\frac{1}{2})$ đến $\88dpi (P)$ bằng $\88dpi \frac{7}{6\sqrt{3}}$ .

2) $\88dpi (P)$ đi qua hai điểm $\88dpi A\left( 1;2;1 \right),B\left( -2;1;3 \right)$ sao cho khoảng cách từ $\88dpi C\left( 2;-1;1 \right)$ đến $\88dpi (P)$ bằng khoảng cách từ $\88dpi D\left( 0;3;1 \right)$ đến $\88dpi (P)$ .

Lời giải.

1) Giả sử $\88dpi (P):ax+by+cz+d=0$ .

Ta có $\88dpi A(2;-1;0),B(5;1;1)$ là điểm chung của $\88dpi (\alpha )$ và $\88dpi (\beta )$

Vì $\88dpi (P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ và $\88dpi (\beta )$ nên $\88dpi A,B\in (P)$

Suy ra $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & 2a-b+d=0 \\ & 5a+b+c+d=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & b=2a+d \\ & c=-7a-2d \\ \end{matrix} \right.$ .

Mặt khác: $\88dpi d\left( M,(P) \right)=\frac{7}{6\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{\left| \frac{1}{2}c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{7}{6\sqrt{3}}$

$\88dpi \Leftrightarrow \left| c+2d \right|=\frac{7}{3\sqrt{3}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\Leftrightarrow 27{{(c+2d)}^{2}}=49({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$

$\88dpi \Leftrightarrow 27.49{{a}^{2}}=49\left[ {{a}^{2}}+{{(2a+d)}^{2}}+{{(7a+2d)}^{2}} \right]$ $\88dpi \Leftrightarrow 27{{a}^{2}}+32ad+5{{d}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & a=-d \\ & a=-\frac{5}{27}d \\ \end{matrix} \right.$ .

$\88dpi \bullet$ $\88dpi d=-a\Rightarrow b=a;c=-5a$ . Suy ra phương trình $\88dpi (P)$ là:

$\88dpi ax+ay-5az-a=0\Leftrightarrow x+y-5z-1=0$ .

$\88dpi \bullet$ $\88dpi d=-\frac{27}{5}a\Rightarrow b=-\frac{17}{5}a;c=-\frac{36}{5}a$ . Suy ra phương trình $\88dpi (P)$ là:

$\88dpi 5x-17y-36z-27=0$ .

2) Giả sử $\88dpi (P):ax+by+cz+d=0$

Vì $\88dpi A,B\in (P)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} & a+2b+c+d=0 \\ & -2a+b+3c+d=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=\frac{-b+2c}{3} \\ & d=-\frac{5b+5c}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Mặt khác: $\88dpi d\left( C,(P) \right)=d\left( D,(P) \right)\Leftrightarrow \left| 2a-b+c+d \right|=\left| 3b+c+d \right|$

$\88dpi \Leftrightarrow \left| 5b-c \right|=\left| 2b-c \right|\Leftrightarrow c=\frac{7}{2}b,c=0$

$\88dpi \bullet$ Với $\88dpi c=\frac{7}{2}b\Rightarrow a=2b;d=-\frac{15}{2}b\Rightarrow (P):4x+2y+7z-15=0$

$\88dpi \bullet$ Với $\88dpi b=0\Rightarrow a=\frac{2}{3}c;d=-\frac{5}{3}c\Rightarrow (P):2x+3z-5=0$ .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz cho điểm $\88dpi A(1;2;3)$ và hai đường

$\88dpi {{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+2}{-1}$ ; $\88dpi {{d}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{-4}$

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và $\88dpi {{d}_{1}}$ ,

2) Chứng minh rằng $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{2}}$ cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{2}}$ .

Lời giải.

Ta có: Đường thẳng $\88dpi {{d}_{1}}$ đi qua $\88dpi M(1;-1;-2)$ , VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;1;-1)$

Đường thẳng $\88dpi {{d}_{2}}$ đi qua $\88dpi N(2;-2;1)$ , VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;2;-4)$

1) Ta có: $\88dpi \overrightarrow{AM}=(0;-3;-5)$

Do (P) đi qua A và $\88dpi {{d}_{1}}$ nên $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-8;10;-6)$

Suy ra phương trình $\88dpi (P):4x-5y+3z-3=0$ .

2) Xét hệ phương trình $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & 1+2t=2+t' \\ & -1+t=-2+2t' \\ & -2-t=1-4t' \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 2t-t'=1 \\ & t-2t'=-1 \\ & -t+4t'=3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow t=t'=1$

Suy ra $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{2}}$ cắt nhau tại $\88dpi E(3;0;-3)$ .

Ta có $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\wedge \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;7;3)$

Phương trình (Q): $\88dpi 2x-7y-3z-15=0$ .

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng

$\88dpi {{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}$ , $\88dpi {{d}_{2}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{-1}$ và $\88dpi {{d}_{3}}:\left\{ \begin{matrix} & x=-2t \\ & y=-1-4t \\ & z=-1+2t \\ \end{matrix} \right.$ .

Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi {{d}_{2}}$ và cắt $\88dpi {{d}_{1}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại A,B sao cho $\88dpi AB=\sqrt{13}$ .

Lời giải.

Ta có $\88dpi A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A(1+a;-1+2a;1-a)$ , $\88dpi B\in {{d}_{3}}\Rightarrow B(-2b;-1-4b;-1+2b)$

Suy ra $\88dpi \overrightarrow{AB}=(-a-2b-1;-2(a+2b);a+2b-2)$ , đặt $\88dpi x=a+2b$

Từ $\88dpi AB=\sqrt{13}\Rightarrow {{(x+1)}^{2}}+4{{x}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}=13\Leftrightarrow x=-1,x=\frac{4}{3}$

$\88dpi \bullet$ Với $\88dpi x=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(0;2;-3)$ , ta có $\88dpi \overrightarrow{u}=(2;3;-1)$ là VTCP của $\88dpi {{d}_{2}}$ và $\88dpi A(-1;1;0)\in {{d}_{2}}\Rightarrow A\in (\alpha )$