XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC

Phương pháp

$\88dpi \bullet$ Sử dụng các phép toán số phức để ta tìm trực tiếp

$\88dpi \bullet$ Giả sử $\88dpi z=x+yi$ là số phức cần tìm.

Từ giả thiết của bài toán, ta thiết lập được hệ phương trình ẩn x, y.

Giải hệ này ta tìm được $\88dpi x,y$ . Từ đó suy ra $\88dpi z$ .

Các vị dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm số phức $\88dpi z$ , biết

1) $\88dpi (1-2i)z=3+4i$ 2) $\88dpi \frac{z(3-i)}{1+i}={{(2i-1)}^{2}}+{{(i+1)}^{3}}$

3) $\88dpi \frac{4-5i}{\overline{z}+3-2i}=(2i-1)(3+2i)$ 4) $\88dpi i(1+3iz)+{{(i-2)}^{2}}=z{{(3+4i)}^{2}}$ .

Lời giải.

1) Ta có: $\88dpi z=\frac{3+4i}{1-2i}=-1+2i$

2) Ta có: $\88dpi \frac{z(3-i)}{1+i}=-5-2i\Rightarrow z=\frac{(5+2i)(1+i)}{i-3}=-\frac{1}{5}-\frac{12}{5}i$ .

3) Ta có: $\88dpi \overline{z}+3-2i=\frac{4-5i}{(2i-1)(3+2i)}=-\frac{48}{65}+\frac{19}{65}i\Rightarrow \overline{z}=-\frac{243}{65}+\frac{149}{65}i$ .

Vậy $\88dpi z=-\frac{243}{65}-\frac{149}{65}i$ .

4) Ta có: $\88dpi i-3z+3-4i=z(-7+24i)$

Suy ra $\88dpi z(4-24i)=-3+3i\Rightarrow z=\frac{-3+3i}{4-24i}=-\frac{21}{148}-\frac{15}{148}i$ .

Ví dụ 2.

1) Tìm các số thực $\88dpi x,\,y$ thoả mãn đẳng thức $\88dpi x\left( 3+5i \right)+y{{\left( 1-2i \right)}^{3}}=-35+23i$ .

2) Tìm phần ảo của số phức $\88dpi z$ , biết $\88dpi z+3\overline{z}={{\left( \overline{1-2i} \right)}^{2}}$

3) Tìm phần thực của số phức $\88dpi z$ , biết $\88dpi z-\left( 1+i \right)\overline{z}={{\left( \overline{1+2i} \right)}^{2}}$

4) Tính môđun của số phức $\88dpi z$ , biết $\88dpi {{z}^{3}}+12i=\overline{z}$ và z có phần thực dương

Lời giải.

1) Ta có $\88dpi {{\left( 1-2i \right)}^{3}}={{\left( 1-2i \right)}^{2}}\left( 1-2i \right)=\left( -3-4i \right)\left( 1-2i \right)=2i-11$ .

Suy ra $\88dpi x\left( 3+5i \right)+y{{\left( 1-2i \right)}^{3}}=-35+23i$ $\88dpi \Leftrightarrow x\left( 3+5i \right)+y\left( 2i-11 \right)=-35+23i$

ĐS: x=3 & y=4

2) Đặt $\88dpi z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$ , $\88dpi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$

Ta có: $\88dpi z+3\overline{z}={{\left( \overline{1-2i} \right)}^{2}}a+bi+3\left( a-bi \right)={{\left( 1+2i \right)}^{2}}\Leftrightarrow 4a-2bi=1+4i-4$

Vậy, $\88dpi z=\frac{-3}{4}-2i$ , phần ảo bằng $\88dpi -2$

3) $\88dpi z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$ .

Từ giả thiết, suy ra $\88dpi a+bi-\left( 1+i \right)\left( a-bi \right)={{\left( 1-2i \right)}^{2}}$

$\88dpi \Leftrightarrow a+bi-\left( a+ai-bi+b \right)=1-4i-4-b+\left( 2b-a \right)i=-3-4i$

ĐS: $\88dpi z=10+3i$ , phần thực bằng $\88dpi 10$

4)Giả sử $\88dpi z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ . $\88dpi {{z}^{3}}+12i=\overline{z}\Leftrightarrow {{\left( x+yi \right)}^{3}}+12i=x-yi$

ĐS: $\88dpi z=2-i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{5}$

Ví dụ 3.

1) Cho số phức $\88dpi \text{z}$ thỏa mãn $\88dpi \left| z \right|-2\overline{z}=-3+6i$ . Tính giá trị biểu thức $\88dpi \left| z \right|+{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| z \right|}^{3}}$

2) Tìm phần thực của số phức $\88dpi z={{\left( 1+i \right)}^{n}},n\in N$ thỏa mãn phương trình:

$\88dpi {{\log }_{4}}\left( n-3 \right)+{{\log }_{4}}\left( n+9 \right)=3$

3) Tìm phần ảo của số phức $\88dpi z$ , biết $\88dpi \frac{iz-\left( 1+3i \right)\overline{z}}{1+i}={{\left| z \right|}^{2}}$

HD giải.

1) Giả sử $\88dpi z=x+yi$

ĐS: $\88dpi \left| z \right|+{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| z \right|}^{3}}=5+25+125=155$

2) Điều kiện: $\88dpi n>3,n\in N$

Phương trình $\88dpi \frac{{{(3-i)}^{2}}}{1+i}=7-i$

$\88dpi z=x+yi$

$\88dpi z={{\left( 1+i \right)}^{7}}=\left( 1+i \right).{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{3}}=\left( 1+i \right).{{\left( 2i \right)}^{3}}=\left( 1+i \right).\left( -8i \right)=8-8i$

Vậy phần thực của số phức $\88dpi z$ là $\88dpi 8$ .

3) Đặt $\88dpi 7-i$ , $\88dpi 1+\frac{3}{2}i$

$\88dpi -1-\frac{3}{2}i$ , quy đồng mẫu số rồi rút gọn ta được:

$\88dpi -3a-3b+\left( -a+5b \right)i=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ , hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi

ĐS: số phức cần tìm là $\88dpi z=0$

Ví dụ 4. Tìm số phức $\88dpi z$ thỏa mãn:

1) $\88dpi \left| z+2i \right|=\left| \bar{z}-1+i \right|$ và $\88dpi \frac{z+1-i}{\bar{z}+2i}$ là một số thuần ảo.

2) $\88dpi \left| z \right|=\sqrt{5}$ và phần thực của $\88dpi z$ bằng $\88dpi 2$ lần phần ảo của nó.

3) $\88dpi \overline{z}={{z}^{3}}$

Lời giải.

1) Giả sử $\88dpi z=a+bi$ , $\88dpi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ $\88dpi \left| z+2i \right|=\left| \bar{z}-1+i \right|\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}\Leftrightarrow a+3b+1=0$

$\88dpi \frac{z+1-i}{\bar{z}+2i}=\frac{a+1+\left( b-1 \right)i}{a+\left( 2-b \right)i}=\frac{a\left( a+1 \right)-\left( b-2 \right)\left( b-1 \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}}}+\frac{a\left( 2b-3 \right)+b-2}{{{a}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}}}i$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $\88dpi a\left( a+1 \right)-\left( b-2 \right)\left( b-1 \right)=0\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}+3b-1=0$

ĐS: có $\88dpi 2$ số phức cần tìm $\88dpi z=2-i$ và $\88dpi z=-\frac{7}{4}+\frac{1}{4}i$

2) Giả sử $\88dpi z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ ,thì $\88dpi \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .

ĐS: có hai số phức cần tìm: $\88dpi z=-2-i,z=2+i$ .

3) Giả sử $\88dpi z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Dễ thấy, $\88dpi {{z}^{3}}={{\left( a+bi \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}bi-3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}i$

ĐS số phức thỏa mãn bài toán: $\88dpi z=0,$ $\88dpi z=-i,$ $\88dpi z=i$

Ví dụ 5. Tìm số phức $\88dpi z$ thỏa mãn:

1) $\88dpi \left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1$ và $\88dpi \left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1$ 2) $\88dpi 2\left( \overline{z\,}+1 \right)+z-1=\left( 1-i \right){{\left| \,z\, \right|}^{2}}$

3) $\88dpi {{\left| z \right|}^{2}}+2z.\overline{z}+{{\left| \overline{z} \right|}^{2}}=8$ và $\88dpi z+\overline{z}=2$ .

Lời giải.

1) Cách 1: Giả sử $\88dpi z=a+bi$ , $\88dpi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ .

$\88dpi \left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z-1 \right|=\left| z-i \right|\Leftrightarrow$ $\88dpi \left| \left( a-1 \right)+bi \right|=\left| a+\left( b-1 \right)i \right|$ hay

$\88dpi {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}$ tức $\88dpi a=b$

Lại có: $\88dpi \left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1$ $\88dpi \Leftrightarrow \left| z-3i \right|=\left| z+i \right|\Leftrightarrow \left| a+\left( b-3 \right)i \right|=\left| a+\left( b+1 \right)i \right|$ hay

$\88dpi {{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow b=1\Rightarrow a=1$

Vậy, số phức cần tìm là $\88dpi z=1+i$

Cách 2: Với $\88dpi 2$ số phức $\88dpi z$ và $\88dpi z'$ $\88dpi \left( z'\ne 0 \right)$ , ta luôn có: $\88dpi \left| \frac{z}{z'} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z' \right|}$

Ta có: $\88dpi \left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z-1 \right|=\left| z-i \right|$ . Gọi $\88dpi A$ và $\88dpi B$ là $\88dpi 2$ điểm biểu diễn các số $\88dpi 1$ và $\88dpi i$

tức là $\88dpi A\left( 1;0 \right),$ $\88dpi B\left( 0;1 \right)$ . Với giả thiết: $\88dpi \left| z-1 \right|=\left| z-i \right|\Leftrightarrow MA=MB$ , ở đây $\88dpi M=M\left( z \right)$ là điểm biểu diễn số phức $\88dpi z$ . Như vậy, $\88dpi M$ nằm trên đường trung trực của $\88dpi AB\Leftrightarrow M$ nằm trên đường thẳng $\88dpi y=x$ $\88dpi \left( a \right)$

Lại có: $\88dpi \left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1$ $\88dpi \Leftrightarrow \left| z-3i \right|=\left| z+i \right|\Leftrightarrow MA=MB$ tức là $\88dpi M$ nằm trên trung trực của $\88dpi AB$ , nghĩa là điểm $\88dpi M$ nằm trên đường thẳng $\88dpi y=1$ $\88dpi \left( b \right)$ .

Từ $\88dpi \left( a \right)$ và $\88dpi \left( b \right)$ suy ra $\88dpi M$ nằm trên đường thẳng $\88dpi y=x$ và $\88dpi y=1$ tức $\88dpi M\left( 1;1 \right)$ $\88dpi \Rightarrow z=1+i$ .

2) Gọi $\88dpi z=a+bi\quad \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$

$\88dpi \Rightarrow 2\left( \overline{z\,}+1 \right)+z-1=\left( 1-i \right){{\left| \,z\, \right|}^{2}}\Leftrightarrow 2\left( a-bi+1 \right)+a+bi-1=\left( 1-i \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

ĐS có $\88dpi 2$ số phức cần tìm : $\88dpi z=1-i$ và $\88dpi z=1+i$ .

Ví dụ 6. Tìm môđun của số phức $\88dpi z$ biết

$\88dpi \left| z+4-5i \right|=\left| \overline{z}+3+6i \right|$ và $\88dpi \frac{z-2i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo.

Lời giải.

Đặt $\88dpi z=x+yi$ , suy ra $\88dpi z-2i=x+(y-2)i,\text{ }\overline{z}+i=x+(-y+1)i$

Nên $\88dpi \frac{z-2i}{\overline{z}+i}=\frac{\left[ x+(y-2)i \right]\left[ x-(-y+1)i \right]}{{{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}=a+bi$

Với $\88dpi a=\frac{{{x}^{2}}+(y-2)(-y+1)}{{{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}$ nên $\88dpi \frac{z-2i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi

$\88dpi a=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+3y-2=0$ (1)

$\88dpi z+4-5i=x+4+(y-5)i,\text{ }\overline{z}+3+6i=(x+3)+(-y+6)i$

Do đó $\88dpi \left| z+4-5i \right|=\left| \overline{z}+3+6i \right|\Leftrightarrow {{(x+4)}^{2}}+{{(y-5)}^{2}}={{(x+3)}^{2}}+{{(-y+6)}^{2}}$

$\88dpi \Leftrightarrow x+y-2=0\Leftrightarrow x=2-y$ thay vào (1) ta có:

$\88dpi {{\left( y-2 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}+3y-2=0\Leftrightarrow -y+2=0\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=0$ .

Vậy $\88dpi z=2i\Rightarrow \left| z \right|=2$ .

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương

Luyện thi An Dương

Có thể bạn quan tâm

Có 0 nhận xét Đăng nhận xét