Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Phương pháp giải
a)Định nghĩa: Phương trình a.sin(x) + b.cos(x) = c (1) trong đó a, b, c ∈ R và

a2+b2≠0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x
b) Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1:Kiểm tra

-Nếu

a2+b2<c2 phương trình vô nghiệm
-Nếu

a2+b2≥c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho a2+b2−−−−−−√, ta được

aa2+b2√sinx+ba2+b2√cosx=ca2+b2√
Vì

(aa2+b2√)2+(ba2+b2√)2=1 nên tồn tại góc α sao cho

aa2+b2√=cosα,ba2+b2√=sinα
Khi đó phương trình (1) có dạng

sinx.cosα+sinα.cosx=ca2+b2√⇔sin(x+α)=ca2+b2√
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Với cos(0,5x) = 0 ↔ x = π + k2π (với k ∈ Z) thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
Bước 2: Với cos(0,5x) ≠ 0 ↔ x ≠ π + k2π (với k ∈ Z)

Đặt t = tan(0,5x) →

sinx=2t1+t2,cosx=1−t21+t2
Khi đó phương trình (1) có dạng

a2t1+t2+b1−t21+t2=c⇔(c+b)t2−2at+c−b=0(2)

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.

* Dạng đặc biệt:

sinx+cosx=0⇔x=−π4+kπ(k∈Z)

sinx−cosx=0⇔x=π4+kπ(k∈Z).
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau

−a2+b2−−−−−−√≤asinx+bcosx≤a2+b2−−−−−−√ từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng y = a.sin(x) + b.cos(x),

y=asinx+bcosxcsinx+dcosx và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác .

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin(2x) – 3cos(2x) = 3 (1)

Giải

Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho

12+32−−−−−−√=10−−√ ta được

110√sin2x−310√cos2x=310√
Đặt

310√=sinα,110√=cosα.
Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng

cosαsin2x−sinαcos2x=sinα⇔sin(2x−α)=sinx⇔[2x−α=α+k2π2x−α=π−α+k2π⇔[x=α+kπx=π2+kπ ( với k ∈ Z)
Vậy phương trình có 2 nghiệm

Cách 2:
Ta nhận thấy cos(x) = 0 là nghiệm của phương trình
-Với cos(x) ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z. Đặt t = tan(x), lúc đó

sin2x=2t1+t2,cos2x=1−t21+t2
Phương trình (1) sẽ có dạng

2t1+t2−31−t21+t2=3⇔2t−3(1−t2)=3(1+t2)⇔t=3
Hay tan(x) = 3 = tan(α) ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng: sin(2x) = 3[1 + cos(2x)] ↔ 2sin(x).cos(x) = 6cos

2(x)

⇔(sinx−3cosx)cosx=0⇔[cosx=0sinx−3cosx=0⇔[tanx=3=tanαcosx=0

⇔[x=α+kπx=π2+kπ,k∈Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình

22√(sinx+cosx)cosx=3+cos2x(2)

Giải

Ta biến đổi phương trình (2)
Ta có:

⇔2√sin2x+2√(1+cos2x)=3+cos2x⇔2√sin2x+(2√−1)cos2x=3−2√a=2√;b=2√−1;c=3−2√a2+b2=2+(2√−1)2=5−22√c2=(3−2√)2=11−62√
Suy ra

a2+b2<c2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Chú ý: Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 3: Giải phương trình

(1+3√)sinx+(1−3√)cosx=2(3)

Giải

Cách 1:Thực hiện phép biến đổi
(3)↔

(1+3√22√)sinx+(1−3√22√)cosx=222√=12√
Đặt

1+3√22√=cosx;1−3√22√=sinx
Phương trình (3) sẽ được viết thành

sinx.cosα+sinα.cosx=12√⇔sin(x+α)=sinπ4

⇔[x+α=π4+k2πx+α=π−π4+k2π⇔[x=π4−α+k2πx=3π4−α+k2π,k∈Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

(sinx+cosx)+3√(sinx−cosx)=2⇔2√sin(x+π4)−6√cos(x+π4)=2⇔12sin(x+π4)−3√2cos(x+π4)=12√⇔sin(x+π4)cosπ3−cos(x+π4)sinπ3=12√⇔sin(x+π4−π3)=sinπ4⇔[x−π12=π4+k2πx−π12=π−π4+k2π⇔[x=π3+k2πx=5π6+k2πk∈Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt t = tan(x/2) và ta cũng thu được nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phương trình dạng a.sinP(x) + b.cosQ(x) = c.sinQ(x) + d.cosP(x) (*) trong đó a, b, c, d∈ R thoả mãn

a2+b2=c2+d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho

a2+b2−−−−−−√ ta có (*)

⇔sin[P(x)+α]=sin[Q(x)+β]hoặc
(*)

⇔cos[P(x)+α]=cos[Q(x)+β] trong đó α, β là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 4: Giải phương trình:

cos7x−sin5x=3√(cos5x−sin7x)(4)

Giải

(4)↔

cos7x+3√sin7x=3√cos5x+sin5x

⇔12cos7x+3√2sin7x=3√2cos5x+12sin5x

⇔cosπ3cos7x+sinπ3sin7x=cosπ6cos5x+sinπ6sin5x

⇔cos(7x−π3)=cos(5x−π6)

⇔[7x−π3=5x−π6+k2π7x−π3=π−(5x−π6)+k2π

⇔[2x=π6+k2π12x=3π2+k2π⇔[x=π12+kπx=π8+kπ6k∈Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình sau:
Bài tập 1.

3√sinx+cosx=3√
Bài tập 2. 10cos(x) – 24sin(2x) = 13
Bài tập 3.

sin2x+6√cosx=3cos2x+2√sinx
Bài tập 4.

4cos3x−3√sin3x=1+3cosx
Bài tập 5.

sin4x−cos4x=1+22√sinx.cosx
Bài tập 6.

2(3√sinx−cosx)=7√sin2x+3(cos4x−sin4x)
Bài tập 7.

8sinx=3√cosx+1sinx
Bài tập 8.

22√(sinx+cosx)cosx=3+cos2x
Bài tập 9.

cosx+2cos2x=22√+cos3x
Bài tập 10.

2√cos(x5−π12)−6√sin(x5−π12)=2sin(x5+2π3)−2sin(3x5+π6)

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương