Bất đẳng thức Chebyshev cho dãy đơn điệu

Cho

$a_1, a_2, ..., a_n$ và

$b_1, b_2, ..., b_n$ là hai bộ số thực có tính chất

$\left( {{a_i} - {a_j}} \right)\left( {{b_i} - {b_j}} \right) \ge 0\;( \le 0)$ , với mọi

$i,j \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}.$ Khi ấy với mọi bộ số

$p_i > 0$ , ta có

$\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{a_i}{b_i}} \ge \left( \le \right)\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{a_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{b_i}} .$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left( {{a_i} - {a_j}} \right)\left( {{b_i} - {b_j}} \right) = 0$ với mọi

$i, j \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}.$

Bất đẳng thức Chebyshev cũng có ứng dụng trong chương trình toán phổ thông trong việc chứng minh các bất đẳng thức.

Ví dụ 1.1:
Cho

$a,b,c>$ , chứng minh rằng

$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2.$

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho cặp

$(a,b,c)$ và

$(a,b,c)$ ta được

$3.(a.a+b.b+c.c) \ge (a+b+c)(a+b+c).$

Ví dụ 1.2:
Cho

$a,b,c >0$ . Chứng minh rằng

$\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}.$

Giải: Từ bất đẳng thức Chebyshev ta suy ra

$3(a^8+b^8+c^8) \ge (a^6+b^6+c^6)(a^2+b^2+c^2) \ge 3a^2b^2c^2 (a^2+b^2+c^2)\\ \ge 3a^2b^2c^2 (ab+bc+ca),$
suy ra

$\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge \dfrac{ab+bc+ca}{abc} =\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}.$

Ví dụ 1.3:
Cho

$a \ge b\ge c\ge 0$ và

$0 \le x \le y \le z$ . Chứng minh rằng

$\dfrac{a}{x} +\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{xyz}} \ge 3 \left(\dfrac{a+b+c}{x+y+z} \right).$

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho

$a \ge b \ge c$ và

$\dfrac{1}{x}\ge \dfrac{1}{y}\ge \dfrac{1}{z}$ , ta thu được

$3 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y} +\dfrac{c}{z}\right) \ge (a+b+c)\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}\right) \ge \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{xyz}} \ge 9 \left(\dfrac{a+b+c}{x+y+z} \right),$
Đó chính là bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 1.4:
Chứng minh rằng với mọi

$\vartriangle ABC$ ta có

$2(\sin A+\sin B+\sin C)\ge \dfrac{3}{2} \ \dfrac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C }{\cos A + \cos B +\cos C}.$

Giải:
Không mất tổng quát giả sử

$a \le b \le c$ . Suy ra

$A \le \sin B \le\sin C$ và

$\cos A \ge \cos B \ge \cos C.$

Theo Chebyshev ta có:

$\left( \dfrac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) \left( \dfrac{\cos A + \cos B +\cos C}{3}\right)\\ \ge \dfrac{\sin A \cos A +\sin B \cos B + \sin C\cos C}{3}.$
Bất đẳng thức này tương đương với

$2(\sin A + \sin B +\sin C) \ge \dfrac{3}{2} \ \dfrac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C }{\cos A + \cos B +\cos C}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\vartriangle ABC$ đều.

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương