Cho $a_1, a_2, ..., a_n$ và $b_1, b_2, ..., b_n$ là hai bộ số thực có tính chất $\left( {{a_i} - {a_j}} \right)\left( {{b_i} - {b_j}} \right) \ge 0\;( \le 0)$, với mọi $i,j \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}.$ Khi ấy với mọi bộ số $p_i > 0$, ta có
$$\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{a_i}{b_i}} \ge \left( \le \right)\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{a_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{b_i}} .$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left( {{a_i} - {a_j}} \right)\left( {{b_i} - {b_j}} \right) = 0$ với mọi $i, j \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}.$
Bất đẳng thức Chebyshev cũng có ứng dụng trong chương trình toán phổ thông trong việc chứng minh các bất đẳng thức.
Ví dụ 1.1:
Cho $a,b,c>$, chứng minh rằng
$$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2.$$
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho cặp $(a,b,c)$ và $(a,b,c)$ ta được
$$3.(a.a+b.b+c.c) \ge (a+b+c)(a+b+c).$$
Ví dụ 1.2:
Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}.$$
Giải: Từ bất đẳng thức Chebyshev ta suy ra
$$ 3(a^8+b^8+c^8) \ge (a^6+b^6+c^6)(a^2+b^2+c^2)
\ge 3a^2b^2c^2 (a^2+b^2+c^2)\\
\ge 3a^2b^2c^2 (ab+bc+ca),$$
suy ra
$$\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge \dfrac{ab+bc+ca}{abc}
=\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}.$$
Ví dụ 1.3:
Cho $a \ge b\ge c\ge 0$ và $0 \le x \le y \le z$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a}{x} +\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{xyz}} \ge 3 \left(\dfrac{a+b+c}{x+y+z} \right).$$
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho $a \ge b \ge c$ và $\dfrac{1}{x}\ge \dfrac{1}{y}\ge \dfrac{1}{z}$, ta thu được
$$3 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y} +\dfrac{c}{z}\right) \ge (a+b+c)\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}\right)
\ge \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{xyz}}
\ge 9 \left(\dfrac{a+b+c}{x+y+z} \right),$$
Đó chính là bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 1.4:
Chứng minh rằng với mọi $\vartriangle ABC$ ta có
$$2(\sin A+\sin B+\sin C)\ge \dfrac{3}{2} \ \dfrac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C }{\cos A + \cos B +\cos C}.$$
Giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \le b \le c$. Suy ra
$$A \le \sin B \le\sin C$$ và $$ \cos A \ge \cos B \ge \cos C.$$
Theo Chebyshev ta có:
$$\left( \dfrac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) \left( \dfrac{\cos A + \cos B +\cos C}{3}\right)\\
\ge \dfrac{\sin A \cos A +\sin B \cos B + \sin C\cos C}{3}.$$
Bất đẳng thức này tương đương với
$$2(\sin A + \sin B +\sin C) \ge \dfrac{3}{2} \ \dfrac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C }{\cos A + \cos B +\cos C}.$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\vartriangle ABC$ đều.
Luyện thi An Dương
Có 0 nhận xét Đăng nhận xét