Chúng ta bắt đầu từ những tình huống thực tế sau:
Tình huống 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của phân xưởng I chiếm 50% sản lượng của nhà máy, sản phẩm của phân xưởng II chiếm 30% sản lượng của nhà máy và sản lượng của phân xưởng III chiếm 20% sản lượng của nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 1%, 3% và 2%.
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng của nhà máy để kiểm tra ta bắt gặp phế phẩm. Hãy đoán xem phế phẩm đó là do phân xưởng nào làm ra?
Tình huống 2 [Đánh giá thị trường tiềm năng]: Một doanh nghiệp quyết định phỏng vấn khách hàng về sản phẩm mới trước khi đưa sản phẩm ra thị trường. Trong số những khách hàng được phỏng vấn ngẫu nhiên thì có 18% trả lời “sẽ mua”, 48% trả lời “có thể sẽ mua” và 34% trả lời “không mua”. Theo kinh nghiệm, tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời như trên lần lượt là: 45%, 25% và 1%.
Làm thế nào để doanh nghiệp đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó?
Tình huống 3 [Chuẩn đoán bệnh]: Có một bệnh nhân bác sĩ chuẩn đoán mắc bệnh A với xác suất 60%, mắc bệnh B với xác suất 40%. Để có thêm thông tin chuẩn đoán, bác sĩ đã cho xét nghiệm sinh hóa, kết quả dương tính. Biết rằng khả năng dương tính với mỗi lần xét nghiệm của bệnh A là 10%, của bệnh B là 30%.
Hãy cho biết nên chuẩn đoán bệnh nhân mắc bệnh nào?
Để giải quyết những tình huống này ta sử dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.
Công thức xác suất đầy đủ: Giả sử các biến cố $A_1, A_2,...,A_n$ lập thành một hệ đầy đủ các biến cố. Xét biến cố A sao cho A xảy ra khi chỉ một trong các biến cố $A_1,A_2,...,A_n$ xảy ra. Khi đó xác suất của biến cố A được tính theo công thức:
\begin{align}\label{ct1}
P(A)=\sum\limits_{i=1}^n P(A_i) P(A/A_i)
\end{align}
Công thức \eqref{ct1} gọi là công thức xác suất đầy đủ.
P(A)=\sum\limits_{i=1}^n P(A_i) P(A/A_i)
\end{align}
Công thức \eqref{ct1} gọi là công thức xác suất đầy đủ.
Giải quyết tình huống 1: Gọi $A$ = ''sản phẩm kiểm tra là phế phẩm''; $A_i$ = "Sản phẩm do phân xưởng $i$ sản xuất", $i=1,2,3$. Khi đó $A_1,A_2,A_3$ lập thành một hệ đầy đủ các biến cố và $A$ xảy ra đồng thời với một trong các biến cố đó.
Theo công thức xác suất đầy đủ,
\begin{align}
\label{ct3}
P(A)=P(A_1)P(A/A_1)+ P(A_2)P(A/A_2)+P(A_3)P(A/A_3).
\end{align}
Ta có $P(A_1)=0,5,$ $P(A_2)=0,3$, $P(A_3)=0,2$, $P(A/A_1)=0,01$, $P(A/A_2)=0,03$, $P(A/A_3)=0,02.$
Thay số vào công thức \eqref{ct3} ta được $P(A)=0,018.$
Câu hỏi đặt ra là : Hãy đoán xem phế phẩm đó là do phân xưởng nào làm ra?
Để trả lời câu hỏi này ta cần sử dụng công thức Bayes
Công thức Bayes: Với cùng giả thiết của Định lý 1, giả thiết thêm là phép thử được thực hiện và biến cố $A$ đã xảy ra. Khi đó
\begin{align}\label{ct2}
P(A_k/A)=\dfrac{P(A_k).P(A/A_k)}{P(A)}, \ \ k=1,2,..,n,
\end{align}
với $P(A)=\sum\limits_{i=1}^n P(A_i) P(A/A_i).$
Công thức \eqref{ct2} được gọi là công thức Bayes.
Ta quay lại câu hỏi của tình huống 1: Biết rằng sản phẩm được kiểm tra là phế phẩm, hãy đoán xem sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất?
Theo công thức Bayes, ta có
\begin{align*}
P(A_1/A)=\dfrac{P(A_1)P(A/A_1)}{P(A)}=\dfrac{0,5. 0,01}{0,018}=\dfrac{5}{18},\\
P(A_2/A)=\dfrac{P(A_2)P(A/A_2)}{P(A)}=\dfrac{0,3. 0,03}{0,018}=\dfrac{9}{18},\\
P(A_3/A)=\dfrac{P(A_3)P(A/A_3)}{P(A)}=\dfrac{0,2. 0,02}{0,018}=\dfrac{4}{18}.
\end{align*}
Vậy khả năng phế phẩm đó do phân xưởng II sản suất.
Nhận xét: Trước khi kiểm tra, thì xác suất để sản phẩm do Phân xưởng II sản xuất $P(A_1)=0,3$ {xác suất tiên nghiệm}, nhưng khi biết biến cố $A$ đã xảy ra {kiểm tra bị phế phẩm} thì khả năng sản phẩm do Phân xưởng II sản xuất tăng lên, $P(A_1/A)=\dfrac{9}{18}=0,5,$ {xác suất hậu nghiệm}.
Giải quyết tình huống 2: Thị trường tiềm năng của sản phẩm là tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm.
Đặt $A$ = ''khách hàng thực sự mua sản phẩm'';
$A_1$ = "khách hàng trả lời sẽ mua";
$A_2$ = "khách hàng trả lời có thể sẽ mua";
$A_3$ = "khách hàng trả lời không mua".
Khi đó $A_1,A_2,A_3$ lập thành một hệ đầy đủ các biến cố và biến cố $A$ xảy ra khi một trong các biến cố $A_i (i=1,2,3)$ xảy ra.
Ta có
$$P(A_1)=0,18, P(A_2)=0,48, P(A_3)=0,34,$$ $$P(A/A_1)=0,45,P(A/A_2)=0,25, P(A/A_3)=0,01.$$
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có $P(A)=0,2044$.
Vậy có khoảng 20,4\% khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm này.
Giải quyết tình huống 3: Đặt $A$ = ''xét nghiệm sinh hóa dương tính'';
$A_1$ = "bệnh nhân mắc bệnh A";
$A_2$ = "bệnh nhân mắc bệnh B";
Khi đó $A_1,A_2$ lập thành một hệ đầy đủ các biến cố và biến cố $A$ xảy ra khi một trong các biến cố $A_i, i=1,2$ xảy ra.
Ta có $$P(A_1)=0,6, P(A/A_1)=0,1,$$ $$P(A_2)=0,4, P(A/A_2)=0,3.$$
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có $P(A)=0,18$.
Theo công thức Bayes ta có: Xác suất để chuẩn đoán bệnh nhân mắc bệnh A, B sau khi xét nghiệm lần lượt là
$$P(A_1/A)=\dfrac{0,6.0,1}{0,18}=\dfrac{1}{3},$$
$$P(A_2/A)=\dfrac{0,4.0,3}{0,18}=\dfrac{2}{3}.$$ Vậy chuẩn đoán bệnh nhân mắc bệnh B khả năng đúng cao hơn.
Nhận xét: $\bullet$ Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes dùng để tính xác suất cho một hệ đầy đủ các biến cố.
$\bullet$ Công thức xác suất đầy đủ cho ta xác suất không điều kiện, còn công thức Bayes cho ta xác suất có điều kiện, trong đó sự kiện cần tính xác suất phải là thành viên của hệ đầy đủ.
Luyện thi An Dương
Có 0 nhận xét Đăng nhận xét