Bất đẳng thức Minkovskii cho dãy số thực và ứng dụng trong chương trình phổ thông

Cho

$a = (a_1, a_2, ..., a_n)$ và

$b = (b_1, b_2, ..., b_n) \in \mathbb{R}^n$ và

$p > 1$ . Khi ấy

${\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{a_i} + {b_i}} \right)}^p}} } \right]^{\frac{1}{p}}} \le {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^p} } \right)^{\frac{1}{p}}} + {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^p} } \right)^{\frac{1}{p}}}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các vectơ

$a$ và

$b$ tỉ lệ, nghĩa là

$a_i=kb_i$ với mọi

$i \in \{1, 2, ..., n\}$

Bất đẳng thức Minkovskii có ứng dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải phương trình và hệ phương trình đại số. Sau đây là một ví dụ minh họa cho việc áp dụng bất đẳng thức này vào giải phương trình.

Ví dụ:
Giải phương trình

$\sqrt{x^2+4y^2+6x+9} +\sqrt{x^2+4y^2-2x-12y+10}=5.$

Giải: Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng

$\sqrt{{(x+3)}^2+(2-y)^2} +\sqrt{(1-x)^2+(3-2y)^2}=5. \ \ \ \ (1)$

Áp dụng bất đẳng thức Minkovskii cho

$a=(x+3,2y), \ b=(1-x,3-2y)$ và

$p=2$ . Khi đó ta có

$\sqrt{4^2+3^2}=5 \le \sqrt{{(x+3)}^2+(2-y)^2} +\sqrt{(1-x)^2+(3-2y)^2}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$a=kb$ với

$k>0$ hoặc

$a=0$ hoặc

$b=0$ . Vậy phương trình

$1$ tương đương với hai khả năng sau:\\
Trường hợp 1:

$1-x=3-2y=0$ . Suy ra

$x=1$ và

$y=\dfrac{3}{2}$ .\\
Trường hợp 2:

$\dfrac{x+3}{1-x}=\dfrac{2y}{3-2y}\ge 0.$ Điều này tương đương với hệ

$-3\le x< 1$
và

$-1 +\dfrac{4}{1-x}=-1+ \dfrac{3}{3-2y}.$
Từ hệ phương trình cuối ta có

$-3\le x< 1$ và

$3x-8y+9=0.$

Giải hệ ta được

$-3\le x< 1$
và

$y=\dfrac{3x+9}{8}.$

Kết hợp lại ta được nghiệm của phương trình đã cho là

$(x, \dfrac{3x+9}{8})$ trong đó

$-3\le x<1.$

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương