Bài toán giao điểm của hàm bậc ba với đường thẳng

Tương giao giữa hai đồ thị hàm số

và đường thẳng

Số giao điểm của đồ thị

với đường thẳng

là số nghiệm của phương trình :

(1)

Để giải phương trình (1) thường ta nhẩm một nghiệm và chuyển về phương trình bậc hai hoặc chuyển về dạng toán 1 ở trên.

Tọa độ các giao điểm

, trong đó

là nghiệm của (1).

Ví dụ 1. Cho hàm số

có đồ thị

1) Tìm

để đồ thị

cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn

2) Gọi

là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc

. Tìm

để đường thẳng

cắt đồ thị

tại ba điểm phân biệt

sao cho

.
Lời giải.
1) Phương trình hoành độ giao điểm của

và Ox

(1)

Xét hàm số

với

, ta có

Suy ra

.
Bảng biến thiên :
bbt_500

Đồ thị

cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn

khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt lớn hớn

hay đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn

.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều đó xảy ra khi và chỉ khi

.
2) Phương trình đường thẳng

Phương trình

Phương trình hoành độ giao điểm của

và

Đồ thị

cắt đường thẳng

tại ba điểm phân biệt

khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

. Hay

(**)
Khi đó

nên

Suy ra

thỏa (**).
Vậy

là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho hàm số

(1), m là số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn điều kiện :

. (ĐH Khối A – 2010).
Lời giải.
1. Bạn đọc tự làm.
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và Ox

Yêu cầu bài toán

(*) có hai nghiệm phân biệt

khác 1 thỏa

Hay là:

Vậy

là những giá trị cần tìm.
Bình luận:
Mẫu chốt của bài toán là chúng ta nhận ra phương trình

(1) có một nghiệm

và chuyển bài toán về nghiệm của phương trình bậc ba về bài toán nghiệm của phương trình bậc hai.
Ta thấy bài toán này có hai ý:
1) (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ

2) Các hoành độ thỏa:

.
Để giải quyết ý thứ nhất của bài toán ta có thể giải bằng phương pháp hàm số, chẳng hạn:
“ Tìm m để hàm số

có hai cực trị trái dấu”.
Ý thứ hai ta có thể giải quyết dựa vào định lí Viet của phương trình bậc ba. Cụ thể
Nếu phương trình

có ba nghiệm

thì ta có sự phân tích

. Đồng nhất hệ số hai vế ta có định lí Viet

Nếu giải theo cách trên thì quá phức tạp. Do đó, ta quay về cách cơ bản nhất khi giải phương trình bậc ba là nhẩm trước một nghiệm và thực hiện phép chia đa thức. Vậy là thế nào để nhẩm nghiệm dễ nhất trong trường hợp phương trình có chứa tham số? Ta biến đổi phương trình về dạng:

nên

là một nghiệm thì nó phải thỏa

. Trong một số trường hợp ta có thể nhẩm nghiệm dựa vào hệ số tự do. Chẳng hạn xét phương trình

, ta ưu tiên nhẩm nghiệm với các giá trị

…Ta thấy phương trình có nghiệm

.
Ví dụ 3. Tìm

để đường thẳng

cắt đồ thị (C_m):

tại ba điểm phân biệt

sao cho tam giác

có diện tích bằng

với

.
Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C_m):

Đường thẳng d cắt (C_m) tại ba điểm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt khác 0

(1) .

Gọi

là hai nghiệm của (*)

Gọi

(thỏa (1))

Vậy

là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 4. Cho hàm số

(C). Gọi d là đường thẳng đi qua

với hệ số góc

. Tìm

để đường thẳng d cắt đồ thị

tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3 giao điểm đó cắt nhau tạo thành một tam giác vuông.
Lời giải.
Ta có phương trình đường thẳng d :