Cực trị hàm số bậc ba 
.
Ta có:
, 
1) Hàm số có hai cực trị ( có cực trị) khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm phân biệt
2) Hàm số có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
3) Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại
Cách tính cực trị hàm số bậc ba:
Cách 1: Nếu hai nghiệm
của phương trình là nghiệm “đẹp” ( tức là 
) thì ta thay trực tiếp vào phương trình hàm số.
Cách 2: Nếu hai nghiệm của phương trình có hình thức phức tạp thì ta chia 
cho 
ta được 
. Khi đó:
và đường thẳng 
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
1)
có hai điểm cực trị thỏa mãn : 
2)
có hai điểm cực trị nhỏ hơn 
3)
đạt cực trị tại hai điểm thỏa 
.
Lời giải.
1) Ta có:
, suy ra
Hàm số có hai điểm cực trị
có hai nghiệm
Hay
(a).
Khi đó:
Kết hợp với (a) ta có
là giá trị cần tìm.
2) TXĐ:
Ta có:
,
(1)
Hàm số có hai điểm cực trị nhỏ hơn khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
(*)
Bằng cách xét hàm số
ta chứng minh được
.
Do đó
.
Vậy
là những giá trị cần tìm.
3) Ta có:
(1)
Hàm số có hai điểm cực trị thỏa khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm thỏa .
(1) có hai nghiệm
(*).
Khi đó theo định lí Viet, ta có:
Suy ra
Từ đó ta tìm được
.
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số
1)
có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ
2)
có hai điểm cực trị A, B sao cho 
3)
có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 48.
Lời giải.
1) Ta có
Hàm số có cực đại và cực tiều khi và chỉ khi
có hai nghiệm phân biệt 
.
Gọi
là các điểm cực trị ta có : 
.
Điểm
cách đều hai điểm 
.
Vậy
là những giá trị cần tìm.
2) TXĐ:
Ta có
Suy ra
Do đó:
Nên
(1)
Vì ta phải có
nên
.
Vậy
là giá trị cần tìm.
3) Ta có:
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khi và chỉ khi
. Khi đó:
Phương trình
.Suy ra 
Do đó
.
Kết hợp với điều kiện, ta có 
là những giá trị cần tìm .
Ví dụ 3. Tìm để hàm số 
có hai cực trị trái dấu.
Lời giải.
Ta có
Suy ra
(1).
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
đúng với mọi 
.
Chia cho 
, ta được:
Suy ra 
Do đó, hai cực trị của hàm số trái dấu khi và chỉ khi
; 
.Ta có:
, 1) Hàm số có hai cực trị ( có cực trị) khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm phân biệt2) Hàm số có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
3) Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại
Cách tính cực trị hàm số bậc ba:
Cách 1: Nếu hai nghiệm
của phương trình là nghiệm “đẹp” ( tức là ) thì ta thay trực tiếp vào phương trình hàm số.Cách 2: Nếu hai nghiệm
của phương trình có hình thức phức tạp thì ta chia cho ta được . Khi đó: và đường thẳng là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số1)
có hai điểm cực trị thỏa mãn : 2)
có hai điểm cực trị nhỏ hơn 3)
đạt cực trị tại hai điểm thỏa .Lời giải.
1) Ta có:
, suy raHàm số có hai điểm cực trị
có hai nghiệm Hay
(a).Khi đó:
Kết hợp với (a) ta có
là giá trị cần tìm.2) TXĐ:
Ta có:
, (1)Hàm số có hai điểm cực trị nhỏ hơn
khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (*)Bằng cách xét hàm số
ta chứng minh được.Do đó
.Vậy
là những giá trị cần tìm.3) Ta có:
(1)Hàm số có hai điểm cực trị
thỏa khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm thỏa .(1) có hai nghiệm
(*).Khi đó theo định lí Viet, ta có:
Suy ra
Từ đó ta tìm được
.Vậy
là giá trị cần tìm.Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để đồ thị hàm số1)
có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ2)
có hai điểm cực trị A, B sao cho 3)
có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 48.Lời giải.
1) Ta có
Hàm số có cực đại và cực tiều khi và chỉ khi
có hai nghiệm phân biệt .Gọi
là các điểm cực trị ta có : .Điểm
cách đều hai điểm .Vậy
là những giá trị cần tìm.2) TXĐ:
Ta có
Suy ra
Do đó:
Nên
(1)Vì ta phải có
nên.Vậy
là giá trị cần tìm.3) Ta có:
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khi và chỉ khi
. Khi đó:Phương trình
.Suy ra Do đó
.Kết hợp với điều kiện
, ta có là những giá trị cần tìm .Ví dụ 3. Tìm
để hàm số có hai cực trị trái dấu.Lời giải.
Ta có
Suy ra
(1).Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
đúng với mọi .Chia
cho , ta được:Do đó, hai cực trị của hàm số trái dấu khi và chỉ khi
; 
Có 0 nhận xét Đăng nhận xét