Cực trị hàm số bậc ba

Cực trị hàm số bậc ba .
Ta có: , 
1) Hàm số có hai cực trị $có cực trị$ khi và chỉ khi phương trình  có hai nghiệm phân biệt
2) Hàm số có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
3) Hàm số đạt cực đại $cực tiểu$ tại 
Cách tính cực trị hàm số bậc ba:
Cách 1: Nếu hai nghiệm  của phương trình  là nghiệm “đẹp” ( tức là  ) thì ta thay trực tiếp vào phương trình hàm số.
Cách 2: Nếu hai nghiệm  của phương trình  có hình thức phức tạp thì ta chia  cho  ta được . Khi đó:
 và đường thẳng  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số  để hàm số
1)  có hai điểm cực trị  thỏa mãn : 
2)  có hai điểm cực trị nhỏ hơn 
3)  đạt cực trị tại hai điểm  thỏa .
Lời giải.
1) Ta có: , suy ra

Hàm số có hai điểm cực trị  có hai nghiệm 
Hay   $a$.
Khi đó:

Kết hợp với $a$ ta có  là giá trị cần tìm.
2) TXĐ: 
Ta có:
,
 $1$
Hàm số có hai điểm cực trị nhỏ hơn  khi và chỉ khi phương trình $1$ có hai nghiệm phân biệt 




  $*$
Bằng cách xét hàm số  ta chứng minh được
.
Do đó .
Vậy  là những giá trị cần tìm.
3) Ta có: 
  $1$
Hàm số có hai điểm cực trị  thỏa  khi và chỉ khi $1$ có hai nghiệm  thỏa .
$1$ có hai nghiệm 
  $*$.
Khi đó theo định lí Viet, ta có: 
Suy ra 


Từ đó ta tìm được .
Vậy  là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số  để đồ thị hàm số
1)  có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ
2)  có hai điểm cực trị A, B sao cho 
3)  có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 48.
Lời giải.
1) Ta có 
Hàm số có cực đại và cực tiều khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt .
Gọi là các điểm cực trị ta có : .
Điểm cách đều hai điểm   
.
Vậy  là những giá trị cần tìm.
2) TXĐ: 
Ta có 
Suy ra


Do đó: 
Nên  $1$
Vì ta phải có  nên


.
Vậy  là giá trị cần tìm.
3) Ta có: 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khi và chỉ khi . Khi đó:

Phương trình .Suy ra 

Do đó .
Kết hợp với điều kiện , ta có  là những giá trị cần tìm .

Ví dụ 3. Tìm  để hàm số  có hai cực trị trái dấu.
Lời giải.
Ta có 
Suy ra   $1$.
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $1$ có hai nghiệm phân biệt 

 đúng với mọi .
Chia  cho , ta được:

Suy ra 

             
Do đó, hai cực trị của hàm số trái dấu khi và chỉ khi 




  ;  

• Twitter
• Facebook
• Google
• Tumblr
• Pinterest

« Không thầy đố mày làm nên LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẶNG »

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Có thể bạn quan tâm