Bài 3 Cực trị hàm số bậc ba

$\88dpi+y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,a\ne+0$ .

Ta có: $\88dpi+y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ , $\88dpi+\Delta+'={{b}^{2}}-3ac$
1) Hàm số có hai cực trị ( có cực trị) khi và chỉ khi phương trình $\88dpi+y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
2) Hàm số có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
3) Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại $\88dpi+x={{x}_{0}}\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+y'({{x}_{0}})=0+\\+&+y''({{x}_{0}})0)+\\+\end{matrix}+\right.$
Cách tính cực trị hàm số bậc ba:
Cách 1: Nếu hai nghiệm $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ của phương trình $\88dpi+y'=0$ là nghiệm “đẹp” ( tức là $\88dpi+\Delta+={{(\alpha+m+\beta+)}^{2}}$ ) thì ta thay trực tiếp vào phương trình hàm số.
Cách 2: Nếu hai nghiệm $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ của phương trình $\88dpi+y'=0$ có hình thức phức tạp thì ta chia $\88dpi+y$ cho $\88dpi+y'$ ta được $\88dpi+y=(\alpha+x+\beta+)y'+mx+n$ . Khi đó:
$\88dpi+{{y}_{1}}=m{{x}_{1}}+n;\text{+}{{y}_{2}}=m{{x}_{2}}+n$ và đường thẳng $\88dpi+y=mx+n$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $\88dpi+m$ để hàm số
1) $\88dpi+y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2(3{{m}^{2}}-1)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn : $\88dpi+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=1$
2) $\88dpi+y=(m-1){{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x+m$ có hai điểm cực trị nhỏ hơn $\88dpi+3$
3) $\88dpi+y=\frac{m{{x}^{3}}}{3}-(m+1){{x}^{2}}+(2m+1)x-1$ đạt cực trị tại hai điểm $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $\88dpi+x_{1}^{2}=9{{x}_{2}}$ .
Lời giải.
1) Ta có: $\88dpi+y'=2{{x}^{2}}-2mx-2(3{{m}^{2}}-1)$ , suy ra
$\88dpi+y'=0\Leftrightarrow+{{x}^{2}}-mx-3{{m}^{2}}+1=0\text{+(*)}$
Hàm số có hai điểm cực trị $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}\Leftrightarrow+(*)$ có hai nghiệm $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$
Hay $\88dpi+\Delta+={{m}^{2}}+4(3{{m}^{2}}-1)=13{{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow+\left|+m+\right|>\frac{2}{\sqrt{13}}$ (a).
Khi đó:
$\88dpi+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=1\Leftrightarrow+-3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow+m=0,m=\frac{2}{3}$
Kết hợp với (a) ta có $\88dpi+m=\frac{2}{3}$ là giá trị cần tìm.
2) TXĐ: $\88dpi+D=\mathbb{R}$
Ta có:
$\88dpi+y'=3\left[+(m-1){{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1+\right]$ ,
$\88dpi+y'=0\Leftrightarrow+(m-1){{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0$ (1)
Hàm số có hai điểm cực trị nhỏ hơn $\88dpi+3$ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}+<+3$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+m-1\ne+0+\\+&+\Delta+'={{m}^{2}}-(m-1)({{m}^{2}}-1)>0+\\+&+({{x}_{1}}-3)({{x}_{2}}-3)+<+0+\\+\end{matrix}+\right.$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+m\ne+1+\\+&+{{m}^{3}}-2{{m}^{2}}-m+1+<+0+\\+&+{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+9+<+0+\\+\end{matrix}+\right.$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+m\ne+1+\\+&+{{m}^{3}}-2{{m}^{2}}-m+1+<+0+\\+&+m+1-\frac{6m}{m-1}+9+<+0+\\+\end{matrix}+\right.$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+m\ne+1+\\+&+{{m}^{3}}-2{{m}^{2}}-m+1+<+0+\\+&+\frac{{{m}^{2}}+3m-10}{m-1}+<+0+\\+\end{matrix}+\right.$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+m\in+\left(+-\infty+;-5+\right)\cup+\left(+1;2+\right)+\\+&+{{m}^{3}}-2{{m}^{2}}-m+1+<+0+\\+\end{matrix}+\right.$ (*)
Bằng cách xét hàm số $\88dpi+f(m)={{m}^{3}}-2{{m}^{2}}-m+1$ ta chứng minh được
$\88dpi+f(m)+<+0,\text{+}\forall+m\in+\left(+-\infty+;-5+\right)\cup+\left(+1;2+\right)$ .
Do đó $\88dpi+(*)\Leftrightarrow+m\in+\left(+-\infty+;-5+\right)\cup+\left(+1;2+\right)$ .
Vậy $\88dpi+m\in+\left(+-\infty+;-5+\right)\cup+\left(+1;2+\right)$ là những giá trị cần tìm.
3) Ta có: $\88dpi+y'=m{{x}^{2}}-2(m+1)x+2m+1,\text{+}$
$\88dpi+y'=0\Leftrightarrow+m{{x}^{2}}-2(m+1)x+2m+1=0$ (1)
Hàm số có hai điểm cực trị $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $\88dpi+x_{1}^{2}=9{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $\88dpi+x_{1}^{2}=9{{x}_{2}}$ .
(1) có hai nghiệm $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+m\ne+0+\\+&+\Delta+'=-{{m}^{2}}+m+1>0+\\+\end{matrix}+\right.\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+m\ne+0+\\+&+\frac{1-\sqrt{5}}{2}+<+m+<+\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\\+\end{matrix}+\right.$ (*).
Khi đó theo định lí Viet, ta có: $\88dpi+\left\{+\begin{matrix}+&+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2(m+1)}{m}=2+\frac{2}{m}+\\+&+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2m+1}{m}=2+\frac{1}{m}+\\+\end{matrix}+\right.$
Suy ra $\88dpi+\left\{+\begin{matrix}+&+{{x}_{1}}+\frac{x_{1}^{2}}{9}=2+\frac{2}{m}+\\+&+\frac{x_{1}^{3}}{9}=2+\frac{1}{m}+\\+\end{matrix}+\right.$
$\88dpi+\Rightarrow+\frac{2x_{1}^{3}}{9}-\frac{x_{1}^{2}}{9}-{{x}_{1}}=2\Leftrightarrow+2x_{1}^{3}-x_{1}^{2}-9{{x}_{1}}-18=0$
$\88dpi+\Leftrightarrow+{{x}_{1}}=3\Rightarrow+{{x}_{2}}=1$
Từ đó ta tìm được $\88dpi+m=1$ .
Vậy $\88dpi+m=1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $\88dpi+m$ để đồ thị hàm số
1) $\88dpi+y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-3{{m}^{2}}-1$ có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ
2) $\88dpi+y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m$ có hai điểm cực trị A, B sao cho $\88dpi+\widehat{\Alpha+{\mathrm+O}\Beta+}={{120}^{0}}$
3) $\88dpi+y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3{{m}^{3}}$ có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 48.
Lời giải.
1) Ta có $\88dpi+y'=-3{{x}^{2}}+6x+3\left(+{{m}^{2}}-1+\right)$
Hàm số có cực đại và cực tiều khi và chỉ khi $\88dpi+g'(x)=-3{{x}^{2}}+6x+3\left(+{{m}^{2}}-1+\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\88dpi+\Leftrightarrow+\Delta+'=9{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow+m\ne+0$ .
Gọi $\88dpi+A,B$ là các điểm cực trị ta có : $\88dpi+A(1-m;-2-2{{m}^{3}});$ $\88dpi+B(1+m;-2+2{{m}^{3}})$ .
Điểm $\88dpi+O$ cách đều hai điểm $\88dpi+A,B$ $\88dpi+\Leftrightarrow$ $\88dpi+OA=OB$
$\88dpi+\Leftrightarrow+8{{m}^{3}}=2m\Leftrightarrow+m=\pm+\frac{1}{2}\text{+}\left(+m\ne+0+\right)$ .
Vậy $\88dpi+m=\pm+\frac{1}{2}$ là những giá trị cần tìm.
2) TXĐ: $\88dpi+D=\mathbb{R}$
Ta có $\88dpi+y'=3{{x}^{2}}+6x,\text{+}y'=0\Leftrightarrow+x=0,x=-2$
Suy ra
$\88dpi+A(0;m),\text{+}B(-2;m+4)\Rightarrow+\overrightarrow{OA}=\left(+0;m+\right),\overrightarrow{OB}=(-2;m+4)$
$\88dpi+\Rightarrow+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}={{m}^{2}}+2m$
Do đó: $\88dpi+\cos+\widehat{AOB}=\cos+\left(+\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}+\right)=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{OA.OB}=\frac{{{m}^{2}}+2m}{\left|+m+\right|\sqrt{{{(m+4)}^{2}}+4}}$
Nên $\88dpi+\widehat{AOB}={{120}^{0}}\Leftrightarrow+\cos+\widehat{AOB}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow+\frac{{{m}^{2}}+2m}{\left|+m+\right|\sqrt{{{m}^{2}}+8m+20}}=-\frac{1}{2}$ (1)
Vì ta phải có $\88dpi+{{m}^{2}}+2m+<+0\Leftrightarrow+-2+<+m+<+0$ nên
$\88dpi+(1)\Leftrightarrow+2(m+2)=\sqrt{{{m}^{2}}+8m+20}$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\left\{+\begin{matrix}+&+-2+<+m+<+0+\\+&+3{{m}^{2}}+8m-4=0+\\+\end{matrix}+\right.$
$\88dpi+\Leftrightarrow+m=\frac{-4-2\sqrt{7}}{3}$ .
Vậy $\88dpi+m=\frac{-4-2\sqrt{7}}{3}$ là giá trị cần tìm.
3) Ta có: $\88dpi+y'=3{{x}^{2}}-6mx=3x(x-2m),\text{+}y'=0\Leftrightarrow+\left[+\begin{matrix}+&+x=0+\\+&+x=2m+\\+\end{matrix}+\right.$
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khi và chỉ khi $\88dpi+m\ne+0$ . Khi đó:
$\88dpi+A(0;3{{m}^{3}}),\text{+}B(2m;-{{m}^{3}})\Rightarrow+\overrightarrow{AB}=(2m;-4{{m}^{3}})$
Phương trình $\88dpi+AB:2{{m}^{2}}x+y-3{{m}^{3}}=0$ .Suy ra $\88dpi+d(O,AB)=\frac{\left|+3{{m}^{3}}+\right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}$
$\88dpi+\Rightarrow+{{S}_{\Delta+OAB}}=\frac{1}{2}d(O,AB).AB=\frac{1}{2}\frac{\left|+3{{m}^{3}}+\right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}.\sqrt{4{{m}^{2}}+14{{m}^{6}}}=3{{m}^{4}}$
Do đó $\88dpi+{{S}_{\Delta+OAB}}=48\Leftrightarrow+{{m}^{4}}=16\Leftrightarrow+m=\pm+2$ .
Kết hợp với điều kiện $\88dpi+m\ne+0$ , ta có $\88dpi+m=\pm+2$ là những giá trị cần tìm .

Ví dụ 3. Tìm $\88dpi+m$ để hàm số $\88dpi+y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3m(m-1)x-1$ có hai cực trị trái dấu.
Lời giải.
Ta có $\88dpi+y'=3\left[+{{x}^{2}}-2x-m(m-1)+\right]$
Suy ra $\88dpi+y'=0\Leftrightarrow+{{x}^{2}}-2x-m(m-1)=0$ (1).
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$
$\88dpi+\Leftrightarrow+\Delta+'=1+m(m-1)>0$
$\88dpi+\Leftrightarrow+{{m}^{2}}-m+1>0$ đúng với mọi $\88dpi+m\in+\mathbb{R}$ .
Chia $\88dpi+y$ cho $\88dpi+{{x}^{2}}-2x-m(m-1)$ , ta được:

$\88dpi+y=\left[+{{x}^{2}}-2x-m(m-1)+\right](x-1)-2({{m}^{2}}-m+1)x-({{m}^{2}}-m+1)$

Suy ra $\88dpi+{{y}_{1}}=-2({{m}^{2}}-m+1){{x}_{1}}-({{m}^{2}}-m+1)$
$\88dpi+=-({{m}^{2}}-m+1)(2{{x}_{1}}+1)$
$\88dpi+{{y}_{2}}=-({{m}^{2}}-m+1)(2{{x}_{2}}+1)$
Do đó, hai cực trị của hàm số trái dấu khi và chỉ khi $\88dpi+{{y}_{1}}.{{y}_{2}}+<+0$
$\88dpi+\Leftrightarrow+(2{{x}_{1}}+1)(2{{x}_{2}}+1)+<+0$
$\88dpi+\Leftrightarrow+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left(+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\right)+1+<+0$
$\88dpi+\Leftrightarrow+-4m(m-1)+2.2+1+<+0$
$\88dpi+\Leftrightarrow+4{{m}^{2}}-4m-5>0$
Vậy $\88dpi+m+<+\frac{1-\sqrt{6}}{2}$ và $\88dpi+m>\frac{1+\sqrt{6}}{2}$ là những giá trị cần tìm.
Bài tập

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $\88dpi+m$ để hàm số:

1) $\88dpi+y=(x-m)({{x}^{2}}-3x-m-1)$ có hai điểm cực trị $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $\88dpi+\left|+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\right|=1$ .

ĐS: $\88dpi+m=-1,m=2$

2) $\88dpi+y=2m{{x}^{3}}-3(2m+3){{x}^{2}}+6(m-2)x+2$ đạt cực trị tại $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $\88dpi+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+22$ .

ĐS: $\88dpi+m=1,m=-\frac{9}{22}$

3) $\88dpi+y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-3)x$ có hai điểm cực trị $\88dpi+{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\88dpi+\sqrt{\frac{5}{2}}$ .

ĐS: $\88dpi+m=\frac{\sqrt{14}}{2}$ .