Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

a) Giải và biện luận phương trình sin(x) = m (1)
Do sin(x) ∈ [-1; 1] nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
Bước 1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt:
Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m = sinα. Ta có:
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như {π/6; π/4; π/2; π/3; π; 2π } vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.

Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 0,25

Giải

Ta nhận thấy 0,25 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt 0,25 = sinα
Khi đó ta có:

Vậy phương trình có 2 họ ngiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải

nên

Vậy phương trình có hai họ nghiệm .

b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos(x) = m (2)
Ta cũng đi biện luận (2) theo m
Bước 1: Nếu |m| > 1 phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu |m| ≤ 1 ta xét 2 khả năng:

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc α. Khi đó phương trình có dạng

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó

đặt m = cosα. Ta có:

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Ví Dụ Minh Hoạ.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cosx = - 0,5

Giải

nên

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Giải

Vì

và 1/3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc α ∈ [0; π] sao cho cosα = 1/3
Ta có:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tanx = m (3)
Ta cũng biện luận phương trình (3) theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cosx ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Bước 2: Xét 2 khả năng

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m = tan α ta được tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải

nên ta có:

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải

Điều kiện:

Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt tan α = 2.
Từ đó ta có

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot(x) = m (4)
Ta cũng đi biện luận theo m
Bước1: Đặt điều kiện

Bước 2: Xét 2 khả năng

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m = cot(α) ta được

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (4) luôn có nghiệm.

Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

(1)

Giải

Điều kiện

(*)
Ta có:
(1)

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải

Ta nhận thấy

nên ta có

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.

Video bài giảng

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương