Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

a) Giải và biện luận phương trình sinx = m 1 Do sinx ∈ [-1; 1] nên để giải phương trình 1 ta đi biện luận theo các bước sau Bướ...


a) Giải và biện luận phương trình sinx = m 1
Do sinx ∈ [-1; 1] nên để giải phương trình 1 ta đi biện luận theo các bước sau
Bước 1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
  • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt: 
  • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m = sinα. Ta có: 
  • Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như {π/6; π/4; π/2; π/3; π; 2π } vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.

Ví dụ 1: Giải phương trình sinx = 0,25
Giải
Ta nhận thấy 0,25 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt 0,25 = sinα
Khi đó ta có: 
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải
Do  nên 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .

b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cosx = m 2
Ta cũng đi biện luận 2 theo m
Bước 1: Nếu |m| > 1 phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu |m| ≤ 1 ta xét 2 khả năng: 
  • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc α. Khi đó phương trình có dạng

  • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó
đặt m = cosα. Ta có: 
  • Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ.

Ví dụ 1:
 Giải phương trình sau: cosx = - 0,5 
Giải
Do  nên 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 

Ví dụ 2: Giải phương trình:  
Giải

Vì  và 1/3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc α ∈ [0; π] sao cho cosα = 1/3
Ta có: 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tanx = m 3 
Ta cũng biện luận phương trình 3 theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cosx ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Bước 2: Xét 2 khả năng
  • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
  • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m = tan α ta được tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
  • Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: 
Giải phương trình 
Giải
Do  nên ta có:  
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải
Điều kiện: 
Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt tan α = 2.
Từ đó ta có 
 Vậy phương trình có một họ nghiệm.

d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cotx = m 4 
Ta cũng đi biện luận theo m
Bước1: Đặt điều kiện 
Bước 2: Xét 2 khả năng
  • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng

  • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m = cotα ta được

  • Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình 4 luôn có nghiệm.

Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: 
Giải phương trình sau:  1
Giải
Điều kiện  
Ta có:
1  
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải
Ta nhận thấy  nên ta có 

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị radianhocđ trong cùng một công thức.

Video bài giảng

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Có thể bạn quan tâm

Có 0 nhận xét Đăng nhận xét