Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng 1:

asin2x+bsinx+c=0(a≠0;a,b,c∈R)

$1$
Cách giải
Đặt t = sin x, điều kiện |t| ≤ 1
Đưa phương trình

$1$ về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm.

Dạng 2:

acos2x+bcosx+c=0(a≠0;a,b,c∈R)

$2$
Cách giải
Đặt t = cos x điều kiện |t| ≤ 1 ta cũng đưa phương trình

$2$ về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x.

Dạng 3:

atan2x+btanx+c=0(a≠0;a,b,c∈R)

$3$
Cách giải
Điều kiện cos x ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Đặt t = tan x

ớ

$với t ∈ R$ ta đưa phương trình

$3$ về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4:

acot2x+bcotx+c=0(a≠0;a,b,c∈R)

$4$
Cách giải
Điều kiện sin x ≠ 0 ↔ x ≠ kπ, k ∈ Z
Đặt t = cot x

ớ

$với t ∈ R$ . Ta cũng đưa phương trình

$4$ về phương trình bậc hai theo ẩn t.

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phương trình

2cos2x−3cosx+1=0

$1$

Giải

Phương trình

$1$

⇔[cosx=1cosx=12⇔[x=k2πx=±π3+k2π,k∈Z
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

cotx−tanx+4sin2x=2sin2x

$2$

Giải

Điều kiện sin 2x ≠ 0 ↔ x ≠ kπ/2, k ∈ Z
Ta có:

(2)⇔cosxsinx−sinxcosx+4sin2x=2sin2x⇔cos2x−sin2xsinx.cosx+4sin2x=2sin2x⇔2cos2xsin2x+4sin2x=2sin2x⇔cos2x+2sin22x=1⇔2cos22x−cos2x−1=0⇔[cos2x=1cos2x=−12(∗)
Ta thấy cos

$2x$ = 1 không thoả mãn điều kiện. Do đó

$*$
↔

cos2x=−12⇔2x=2π3+k2π⇔x=±π3+kπk∈Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải phương trình:

5sin2x−4sinx−1=0
Bài 2: Giải phương trình: cos

$2x$ – 3cos

$x$ – 4 = 0
Bài 3: Giải phương trình: 3tan

$2x$ – 3tan

$x$ – 2,5 = 0
Bài 4: Giải phương trình: cos

$4x + 2$ + 3sin

$2x + 1$ = 2
Bài 5: Giải phương trình:

tan43x−3tan3x+1=0
Bài 6: Giải phương trình:

cos42x+6cos22x=2516
Bài 7: Giải phương trình:

sin2x2cos2x−2sin2π4=tan6x
Bài 8: Giải phương trình

1+2sin2x−32√sinx+sin2x2sinx.cosx−1=1
Bài 9: Giải phương trình

cot42x+1sin42x=25

Luyện thi An Dương

Luyện thi kiến thức Toán Phổ Thông - Đại học. Đồng thời có các chuyên đề , định hướng về hướng nghiệp - kỹ năng sống.

Blog An Dương