Bất đẳng thức Minkovskii cho dãy số thực và ứng dụng trong chương trình phổ thông

Cho $a = (a_1, a_2, ..., a_n)$ và $b = (b_1, b_2, ..., b_n) \in \mathbb{R}^n$ và $p > 1$. Khi ấy
$${\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{a_i} + {b_i}} \right)}^p}} } \right]^{\frac{1}{p}}} \le {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^p} } \right)^{\frac{1}{p}}} + {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^p} } \right)^{\frac{1}{p}}}.$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các vectơ $a$ và $b$ tỉ lệ, nghĩa là $a_i=kb_i$ với mọi $i \in \{1, 2, ..., n\}$


Bất đẳng thức Minkovskii có ứng dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải phương trình và hệ phương trình đại số. Sau đây là một ví dụ minh họa cho việc áp dụng bất đẳng thức này vào giải phương trình.

Ví dụ: 
Giải phương trình
$$\sqrt{x^2+4y^2+6x+9} +\sqrt{x^2+4y^2-2x-12y+10}=5.$$

Giải: Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng
$$\sqrt{{(x+3)}^2+(2-y)^2} +\sqrt{(1-x)^2+(3-2y)^2}=5.  \ \ \ \  (1)$$

Áp dụng bất đẳng thức Minkovskii cho $a=(x+3,2y), \ b=(1-x,3-2y)$ và $p=2$. Khi đó ta có
$$\sqrt{4^2+3^2}=5 \le \sqrt{{(x+3)}^2+(2-y)^2} +\sqrt{(1-x)^2+(3-2y)^2}.$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=kb$ với $k>0$ hoặc $a=0$ hoặc $b=0$. Vậy phương trình (1) tương đương với hai khả năng sau:\\
Trường hợp 1: $1-x=3-2y=0$. Suy ra $x=1$ và $y=\dfrac{3}{2}$.\\
Trường hợp 2: $\dfrac{x+3}{1-x}=\dfrac{2y}{3-2y}\ge 0.$ Điều này tương đương với hệ
$$-3\le x< 1$$
và $$-1 +\dfrac{4}{1-x}=-1+ \dfrac{3}{3-2y}.$$
Từ hệ phương trình cuối ta có
$$-3\le x< 1$$ và
$$3x-8y+9=0.$$

Giải hệ ta được $$-3\le x< 1$$
và $$y=\dfrac{3x+9}{8}.$$

Kết hợp lại ta được nghiệm của phương trình đã cho là $(x, \dfrac{3x+9}{8})$ trong đó $-3\le x<1.$

Xem tiếp »

Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz cho các số thực và ứng dụng trong chương trình phổ thông

Cho $a = \left( {{a_1},a_2...,{a_n}} \right)$ và $b = \left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right)$ là hai bộ số thực. Khi ấy ta có
$$ (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2 \ \ \  (1.1)$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a$ và $b$ tỉ lệ, nghĩa là tồn tại hằng số $r$ sao cho ${a_i} = r{b_i}$ với mọi $i \in \{ 1,2,...,n\} .$

Trong chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz thường được phát biểu khi $n=2$ và mở rộng cho $n=3$. Bất đẳng thức này được ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số...

Ví dụ 1.1
  Hai số dương $x,y$ thỏa mãn $3x+2y=6xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $x+y$.

Giải: Nhận xét rằng $3x+2y=6xy$ khi và chỉ khi $ \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=6$ và $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{\dfrac{2}{x}}.\sqrt{x}+\sqrt{\dfrac{3}{y}}.\sqrt{y}$$
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz với $n=2$, ta được
 $$(\sqrt{2}+\sqrt{3} )^2 \le \left( \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}\right)(x+y)=6(x+y).$$
 Suy ra $$x+y \ge \dfrac{1}{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3} )^2 =\dfrac{5+2\sqrt{6}}{6}.$$
 Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng $x+y$ bằng $\dfrac{5+2\sqrt{6}}{6}$ đạt được khi
 $$  \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=6$$ và
  $$\dfrac{x}{\dfrac{2}{x}}=\dfrac{y}{\dfrac{3}{y}}$$. Điều này tương đương với

  $$ x=\dfrac{2+\sqrt{6}}{6}$$
  và $$ x=\dfrac{3+\sqrt{6}}{6}.$$
 
 Ví dụ 1.2:
  Giải bất phương trình $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x^2-10x+16} \ge 3-x.$

 Giải: Ta biến đổi phương trình về dạng $\sqrt{x-1}+x-3 \ge\sqrt{2x^2-10x+16}.$
 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz với $n=2$, ta được
 $$ \sqrt{2[(x-1)+(x-3)^2]} \le \sqrt{x-1}+x-3.$$
 Vậy bất phương trình tương đương với dấu "=" xảy ra, tức là
 $$\sqrt{x-1}=x-3\Leftrightarrow x^2-7x+10=0.$$
 Giải phương trình cuối ta được $x=2$ và $x=5$. Vậy bất phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=5$.

Ví dụ 1.3:

 Cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác. Chứng minh bất đẳng thức sau:
 $$\sqrt{3(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} )} \ge \sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a}+ \sqrt{c+a-b}.$$

Giải:  Lấy $x,y,z>0$ và đặt $a=x+y, b=y+z, c=x+z$. Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức
 $$3 \sum\limits_{cyc} \sqrt{(x+y)(y+z)} \ge 2 \left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{x} \right)^2. $$
 Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz ta có
$$
3 \sum\limits_{cyc} \sqrt{(x+y)(y+z)} \ge 3 \sum\limits_{cyc} (y +\sqrt{xz}) \\
 \ge 2 \sum\limits_{cyc} y + \sum\limits_{cyc} \sqrt{xz} \\
= 2 \left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{x} \right)^2.
$$

 Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz được sử dụng rất nhiều trong việc chứng minh các bất đẳng thức. Đặc biệt trong các bài thi chọn học sinh giỏi, thi Olympic.

 Ví dụ 1.4: 
 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn
 $$\dfrac{1}{a+b+1} +\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1} \ge 1.$$
 Chứng minh rằng
 $$a+b+c \ge ab+bc+ca.$$
 (Andrei Ciupan, Chọn đội tuyển Romania dự thi Junior BMO 2007)

Giải:\\
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz, dễ thấy
$$(a+b+1)(a+b+c^2)\ge (a+b+c)^2.$$
Từ đó dẫn đến
$$
1 \le \dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}
\le \dfrac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}+\dfrac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}\dfrac{c+a+b^2}{(a+b+c)^2}.
$$
Suy ra
$$(a+b+c)^2 \le 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2,$$
tức là
$$a+b+c \ge ab+bc+ca.$$
Bất đẳng thức của ta được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$

Cách 2: Từ giả thiết sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii-Schwarz, ta có
$$
2 \ge \left( 1- \dfrac{1}{a+b+1} \right) + \left( 1- \dfrac{1}{b+c+1} \right)+ \left( 1- \dfrac{1}{c+a+1} \right)\\
 =\dfrac{a+b}{a+b+1}+\dfrac{b+c}{b+c+1}+\dfrac{c+a}{c+a+1}\\
 \ge \dfrac{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}{(a+b)(a+b+1)+(b+c)(b+c+1)+(c+a)(c+a+1)}\\
 =\dfrac{2(a^2+b^2+c^2) +4 (ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2) +(ab+bc+ca)+(a+b+c)}.
$$
Từ đây ta suy ra được
$$(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+(a+b+c) \ge (a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca),$$
tức là
$$a+b+c \ge ab+bc+ca.$$
Đây chính là điều phải chứng minh.

Xem tiếp »

TÍCH PHÂN LÀ GÌ?

Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với nghịch đảo của nó vi phân đóng vai trò là hai phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực Giải tích. Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như: hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật...Tiếp theo xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, để tính diện tích hình đó ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, chúng bao gồm các hình: hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật...và hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.

Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm $f$ của một biến thực $x$ và một miền giá trị thực $[a, b] $. Như vậy một tích phân xác định từ $a$ đến $b$ của $f(x)$, ký hiệu là:

$$\int_a^b f(x) dx$$

được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng $0xy$ được bao bởi đồ thị của hàm $f$, trục hoành, và các đường thẳng $x = a$ và $x = b$.

Ta gọi $a$ là cận dưới của tích phân, $b$ là cận trên của tích phân.

Nhân tiện đây tôi có sưu tầm được một quy luật của cuộc sống hàng ngày đơn giản mà ta có thể áp dụng được. Nó giúp ta đo lường được kết quả và biết được tương lai của ta. Đó là Quy luật Tích phân.

 Tích phân của hàm số $f(x)$ với bước nhảy $dx$ từ vị  trí $a$ đến vị trí $b$.

$$\int_a^b f(x) dx$$
Và ta hãy tưởng tượng cuộc sống của chúng ta là hàm số $f(x)$, mỗi bước thời gian $dx$ hàm đó chạy và tích phân lại ta được một kết quả như mô tả dưới đây:

Trong khoảng từ $a-b$, tùy theo cấu trúc hàm $f(x)$ mà cuộc sống của ta có thể Thăng hoặc Trầm và tổng những khoảnh khắc đó ta có kết quả cuộc đời ta là Dương- Thành công, Âm - Thất bại. Và trong cuộc sống, chúng ta không muốn cuộc sống của chúng ta bị đi xuống, chúng ta muốn cả cuộc đời ta cộng dồn lại phải là khối tài sản lớn. Vậy làm thế nào để đạt được điều đó? Chìa khóa ở đây là hàm số $f(x)$. Công thức mô tả hàm số $f(x)$ của bạn là gì? Tìm ra được công thức mô tả hàm $f(x)$ của bạn, bạn sẽ biết được cả cuộc đời của mình và muốn thay đổi cuộc đời thì phải thay đổi chính cái $f(x)$ đó. Bởi, hiểu nôm na, người giàu được mô tả bởi công thức $f(x)$ riêng và người nghèo được mô tả bởi công thức $f(x)$ riêng (sự khác biệt trong suy nghĩ, thói quen, tính cách). Vấn đề của ta là khi thay đổi đó là xác định được $f(x)$ hiện tại của mình, biết được mô thức $f(x)$ của người thành công mà ta hướng đến sau đó quyết tâm tạo ra sự thay đổi. Khi đó mọi thứ trong cuộc sống sẽ thay đổi theo.

St

Xem tiếp »

Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2016 - Môn Toán

Đề thi

Đáp án

Xem tiếp »

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Phương pháp giải
a) Định nghĩa: 
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin(x) và cos(x)là phương trình.
asin2x+bsinx.cosx+ccos2x=d (1) trong đó a, b, c, d ∈ R

b) Cách giải:
Cách giải 1: Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin2x,cos2x hoặc sin(x).cos(x). Chẳng hạn nếu chia cho cos$^2(x) ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Kiểm tra: cos(x) = 0 ↔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z. xem nó có phải là nghiệm của phương trình (1) hay không?

• Bước 2: Với cos(x) ≠ 0 chia cả hai vế cho cos$^2(x) lúc đó phương trình (1) trở thành

atan2x+btanx+c=d(1+tan2x)⇔(a−d)tan2x+btanx+c−d=0 
Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.

Cách giải 2: Dùng công thức hạ bậc sin2x=1−cos2x2;cos2x=1+cos2x2;sinx.cosx=sin2x2
đưa phương trình đã cho về phương trình: b.sin(2x) + (c – a)cos(2x) = d – c - a 
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải 

*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n ≥ 3) với dạng tổng quát
A(sinnx,cosnx,sinkxcoshx)=0 trong đó k + h = n; k, h, n ∈ N 
Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :

• Bước 1: Kiểm tra xem cos(x) = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?
• Bước 2: Nếu cos(x) ≠ 0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosnx ta sẽ được phương trình bậc n theo. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình : 23√cos2x+6sinx.cosx=3+3√ (1)

Giải​

Cách 1: Phương trình (1) ⇔3√(1+cos2x)+3sin2x=3+3√⇔cos2x+3√sin2x=3√
⇔12cos2x+3√2sin2x=3√2⇔cos(2x−π3)=3√2 ⇔[2x−π3=π6+k2πx−π3=−π6+k2π⇔[x=π4+k2πx=π12+k2πk∈Z 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: 
+) Thử với cosx=0⇔x=π2+k2πk∈Z vào phương trình (1) ta có 0=3+3√ → vô lí.
Vậy x=π2+k2πk∈Z không là nghiệm của phươngtrình.
+)Với cos(x) ≠ 0
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được 
23√+6tanx=(3+3√)(1+tan2x)⇔(3+3√)tan2x−6tanx+3−3√=0
⇔[tanx=1tanx=3−3√3+3√=tanα⇔[x=π4+kπx=α+kπk∈Z 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp

Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin3(x−π4)=2√sinx (2)

Giải​

Ta nhận thấy sin(x−π4) có thể biểu diễn được qua sin(x) – cos(x). Luỹ thừa bậc ba biểu thức sin(x) – cos(x).
ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải 
Phương trình (2) ⇔22√sin3(x−π4)=4sinx⇔[2√sin(x−π4)]3=4sinx
⇔(sinx−cosx)3=4sinx
+) Xét với cosx=0⇔x=π2+k2πk∈Z. Khi đó phương trình có dạng 
⇔sin3(π2+kπ)=4sin(π2+kπ)⇒mâu thuẫn 
Vậy phương trình không nhận x = π/2 + k2π làm nghiệm
+) Với cos(x) ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos3x ta được :
(tanx−1)3=4(1+tan2x)tanx⇔3tan3x+3tan2x+tanx−1=0.
Đặt t = tan(x) phương trình có được đưa về dạng: 3t3+3t2+t−1=0⇔(t+1)(3t2+1)=0⇔t=1⇔x=−π4+kπk∈Z
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình .
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất.

Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1−tanx1+tanx=1+sin2x (3)

Giải​

Điều kiện {cosx≠0tanx=−1⇔{x≠π2+kπx≠−π4+kπk∈Z

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :
cosx−sinxcosx+sinx=(cosx+sinx)2⇔cosx−sinx=(cosx+sinx)3
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho cos3x≠0 ta được :
1+tan2x−(1+tan2x)tanx=(1+tanx)3⇔tan3x+tan2x+2tanx=0⇔(tan2x+tanx+2)tanx=0(∗)
(do tan2x+tanx+2=0 vô nghiệm) nên:
Phương trình (*)⇔tanx=0⇔x=kπ(k∈Z)
Vậy phương trình có một họ nghiệm 

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng cosx−sinxcosx+sinx=(cosx+sinx)2⇔cos(x+π4)sin(x+π4)=2sin2(x+π4)⇔cot(x+π4)=21+cot2(x+π4)
Đặt t=cot(x+π4) ta được : 
t=21+t2⇔t3+t−2=0⇔(t−1)(t2+t+2)=0⇔t=1haycot(x+π4)=1⇔x+π4=π4+kπ⇔x=kπ(k∈Z)
Vậy phương trình có một họ nghiệm 

Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau :
Bài tập 1) 3sinx−4sinx.cosx+cos2x=0
Bài tập 2) 2cos3x+sin3x−11sin2x−3cosx=0
Bài tập 3) 4sinx+6cosx=1cosx
Bài tập 4) sin3x=2sin3x
Bài tập 5) sin3x−5sin2xcosx+7sinxcos2x−2cos3x=0
Bài tập 6) sin2xsinx+sin3x=6cos3x
Bài tập 7) 8cosx=3√sinx+1cosx
Bài tập 8) (sin2x−4cosx)(sin2x−2sinx.cosx)=2cos4x
Bài tập 9) cos3x−sin3x=sinx−cosx

Xem tiếp »